投資組合幾何增值理論-在線瀏覽
2024-08-08 18:21本頁(yè)面
【正文】 格皆是1元，證券I(象是期權(quán))未來(lái)價(jià)格可能是0元和2元，概率分別為1/4和3/4（參看圖1，其中產(chǎn)出比=產(chǎn)出比=本利和/本金=1+收益)。圖 1 期望和標(biāo)準(zhǔn)方差相同但風(fēng)險(xiǎn)不同的兩個(gè)證券表 1 期望和標(biāo)準(zhǔn)方差相同的兩種證券的投資價(jià)值分析 期望標(biāo)準(zhǔn)方差下100％時(shí)平均復(fù)利優(yōu)化比例％優(yōu)化后平均復(fù)利比例證券 I0．50．886－100％5015％證券 II0．50．88632％10032％表中最優(yōu)投資比例?100%意味著：如果可以貸款或透支，投更多更好。 對(duì)于存在大比例虧損可能的投資，比如期權(quán)、期貨、放貸(可能收不回本金)、衛(wèi)星發(fā)射和地震保險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)極大而標(biāo)準(zhǔn)方差并不大），馬科維茨理論的缺陷尤為明顯。雖然80％大于63％，算術(shù)平均大于0，可是總的來(lái)說(shuō)是跌的，跌了約1/3，因?yàn)槔鄯e產(chǎn)出比是 (1+)()=，= ＝％. 炒過(guò)股票的人都知道，如果你總是將所有的資金買入股票，則先賺50% 再虧50%； 或者先虧后賺，雖然算術(shù)平均收益是0，可是你的資金會(huì)變少(=)。能反映實(shí)際增值的收益是什么呢？是幾何平均收益。 累計(jì)產(chǎn)出比的N次開(kāi)方M1/N被稱為幾何平均產(chǎn)出比， 我們記為Rg, 即Rg=M1/N 。因?yàn)镹年累積產(chǎn)出比M=RgN =(1+rg)N.投資組合的幾何增值理論(或者說(shuō)熵理論)就是用幾何平均產(chǎn)出比作為優(yōu)化投資組合的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)，使幾何平均收益達(dá)最大的投資比例就是最好的投資比例。幾何平均收益的微小優(yōu)勢(shì)，在長(zhǎng)期累計(jì)后可能導(dǎo)致驚人的成功。表1 幾何平均收益對(duì)20年累積產(chǎn)出比的影響15%20%%20年產(chǎn)出比%就是巴費(fèi)特管理的伯克希爾公司32年里的幾何平均收益。林奇之所以有成功，是因?yàn)樗昀锸够鸬膸缀纹骄找孢_(dá)到30％?？梢?jiàn)穩(wěn)定的幾何平均收益的威力。 中國(guó)人在期貨市場(chǎng)上破產(chǎn)的比例極大，原因就是因?yàn)樵S多人看不到穩(wěn)定增值的重要性。這不能不說(shuō)是中國(guó)股市不成熟的表現(xiàn)。只要他們有耐心，采取穩(wěn)健的策略(比如每年認(rèn)購(gòu)新股，如果認(rèn)購(gòu)新股效益不變的話)，一、二十年后成為百萬(wàn)富翁將極其容易。擲硬幣打賭問(wèn)題的數(shù)學(xué)解答擲硬幣打賭問(wèn)題是：有一種可以不斷重復(fù)的投資或打賭，其收益由擲硬幣確定，硬幣兩面出現(xiàn)的可能性相同； 出A面你投一虧一，出B面你投一賺二；假設(shè)你開(kāi)始只有100元，輸了沒(méi)法再借。拋物線可以用來(lái)描述炮彈飛行軌跡，它有一個(gè)最高點(diǎn), 當(dāng)水平距離x= b/(2a) 時(shí)，高度y達(dá)最大。對(duì)于上面的擲硬幣打賭，幾何平均產(chǎn)出比Rg隨下注比例q的變化是要使Rg達(dá)最大，只需使上式右邊括號(hào)中的內(nèi)容達(dá)最大。這就是說(shuō)，對(duì)于上面的擲硬幣打賭，25％是最優(yōu)投資比例。容易看出，算術(shù)平均收益rg和投資比例q成正比關(guān)系；而幾何平均收益不是，q太大反而不好，如果q。 如果硬幣是彎的，一面出現(xiàn)的可能性大，另一面出現(xiàn)的可能性小, , 并且嬴虧幅度也是變的(為r1小于0和r2大于0)， 這時(shí)幾何平均收益等于則這時(shí)最優(yōu)比例如何求法？ 現(xiàn)在我們用H表示資金翻一番數(shù)目， 如果Rg=2， 則H=1。這樣求幾何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。這時(shí)要用到大學(xué)生學(xué)到的求極值的方法(可見(jiàn)數(shù)學(xué)還是有用的)。有了這一公式，我們就可以對(duì)付收益更復(fù)雜的打賭或投資。P1=1/3, P2=2/3, r1= ?1, r2=1。讀者不妨通過(guò)反復(fù)擲硬幣或擲骰子檢驗(yàn)上面結(jié)論。就象打仗要有后備軍一樣，風(fēng)險(xiǎn)投資也要有后備軍，它能在前次投資虧損后發(fā)揮更大效用。假設(shè)只有購(gòu)買二級(jí)市場(chǎng)股票和購(gòu)買國(guó)債兩種投資方式，股票收益近似用擲硬幣打賭收益來(lái)模擬，即已知國(guó)債收益率r0和股票收益的概率預(yù)測(cè)P1,r1, P2, r2。令H對(duì)q的導(dǎo)數(shù)等于0可以求出最優(yōu)投資比例：q*= ?(P1d1+P2d2)R0/(d1d2).其中R0=1+r0, 是投資國(guó)債的產(chǎn)出比；d1=r1 r0和d2=r2?r0是超出國(guó)債收益的收益。因?yàn)閲?guó)債利率反映了資金成本，我們也說(shuō)上式是考慮資金成本的優(yōu)化公式。 求股票最優(yōu)投資比例q*(忽略手續(xù)費(fèi))。 d1= = , d2==。圖 1 三種投資方式資金增值比較我們按三種不同方式重復(fù)投資，資金增值情況如圖1所示。 按優(yōu)化的投資比例投資，則投資者每年年終都要轉(zhuǎn)移一下資金。由圖可見(jiàn)，全投股票或全投國(guó)債的效果顯然不如優(yōu)化的組合。首先，兩者收益都是不確定的；其次，同樣的投資工具，比如期貨，你可以按照投資的方式來(lái)做，也可以按照賭博的方式來(lái)做——不做任何分析，孤注一擲；同樣的賭博工具，比如賭馬，你可以象通常人們所做的那樣去碰運(yùn)氣，也可以象投資高科技產(chǎn)業(yè)那樣去投資——基于細(xì)致的分析按恰當(dāng)?shù)谋壤伦?。比如通常人們買彩票、賭馬、賭大小… 的期望收益就小于0。投資要求回避風(fēng)險(xiǎn)，而賭博是找風(fēng)險(xiǎn)。投資也是一種博弈——對(duì)手是“市場(chǎng)先生”。下圍棋贏一目空和贏一百目空是等價(jià)的，而投資賺錢是越多越好。對(duì)于賭大小或賭紅黑那樣的賭博，很多人推薦這樣一種策略：首先下一元（或1％），如果輸了，賭注加倍；如果贏了，從頭開(kāi)始再下一元。但是從幾何增值理論看，這是一種糟透了的策略。不過(guò)，這種策略對(duì)于下圍棋等博弈倒是很合適，因?yàn)橄聡逯匾氖禽斱A，而不在于輸贏多少目。電影《生死賭門》上面有個(gè)小神仙，特別善于心理戰(zhàn)。小神仙在密室里把其中之一放在寶盒中，然后讓人拿出寶盒供大家下注，下中顏色者贏，否則輸。有一次小神仙一連出十幾個(gè)黑，令眾多賭徒大跌眼鏡。結(jié)果小神仙還是一再贏了。假設(shè)每賭三次小神仙贏兩次，賭徒每次拿出自己的一半資金下注，那么賭徒的幾何平均產(chǎn)出比是[]1/31, 重復(fù)賭下去，賭徒必輸無(wú)疑。怎樣戰(zhàn)勝小神仙呢？首先要有恰當(dāng)?shù)谋壤Ａ硗?，你可以通過(guò)擲硬幣確定下哪一種顏色，由此避免心理戰(zhàn)。如果你沒(méi)有太好的運(yùn)氣，賭場(chǎng)老板不是一賠五，而是一賠二，即使你通過(guò)擲硬幣避免心理戰(zhàn)的不利，你也要注意控制下注比例（25％最優(yōu)，超過(guò)50％就會(huì)輸錢）。另外，許多賭博方式都有莊家占先的特例，比如擲3只骰子賭大小，只要莊家擲出三個(gè)“1”或三個(gè)一樣，則不管下注者擲出什么，莊家通吃，這使得莊家的期望收益大于0，而下注者的期望收益小于0。有部美國(guó)電影叫《賭場(chǎng)風(fēng)云》，其中講道，如果游客嬴了大錢，老板就會(huì)想方設(shè)法纏
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