【正文】 計簡單、性能最佳，自適應(yīng)濾波器是目前數(shù)字濾波器領(lǐng)域是活躍的分支，也是數(shù)字濾波器研究的熱點(diǎn)。其中RLS濾波器具有穩(wěn)定的自適應(yīng)行為而且算法簡單，收斂性能良好。自適應(yīng)有限沖激響應(yīng)(FIR)濾波器由于其收斂性和穩(wěn)定性十分簡單，現(xiàn)已有相當(dāng)完善的自適應(yīng)算法，在信號處理領(lǐng)域，獲得了廣泛應(yīng)用。自適應(yīng)IIR濾波器是一個具有無限沖激響應(yīng)的遞歸濾波器，它的一個最重要的優(yōu)點(diǎn)是，與相同系數(shù)個數(shù)的自適應(yīng)FIR濾波器相比有更好的性能，這是因為輸出的反饋使有限數(shù)量的系數(shù)產(chǎn)生了無限沖激響應(yīng)，使得零點(diǎn)與極點(diǎn)模型濾波器的輸出比起僅有零點(diǎn)的濾波器的輸出能更有效地逼近期望響應(yīng)信號。反之，要達(dá)到相同性能，IIR濾波器所需要的系數(shù)個數(shù)一般比FIR濾波器少得多，正是由于這一潛在的計算量的優(yōu)勢，近十年來，自適應(yīng)IIR濾波器的研究一直非?；钴S，出現(xiàn)了一批比較成熟的算法。[8]應(yīng)該指出的是，與自適應(yīng)FIR濾波器相比，自適應(yīng)IIR濾波器在減少計算量的同時也付出了一定的代價。目前，在相同濾波性能條件下，自適應(yīng)IIR濾波器的收斂性己可優(yōu)于自適應(yīng)FIR濾波器。在很大程度上方程誤差自適應(yīng)IIR濾波器在很像一個自適應(yīng)FIR濾波器，他們之間的主要區(qū)別在與方程誤差自適應(yīng)IIR濾波器就是一個零點(diǎn)一極點(diǎn)模型，而自適應(yīng)FIR濾波器是一個嚴(yán)格全零點(diǎn)模型。輸出誤差方法中的濾波器輸出僅由觀測輸入來產(chǎn)生期望響應(yīng)。自適應(yīng)濾波器具有很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)、自跟蹤能力和算法的簡單易實現(xiàn)性，它在噪化信號的檢測增強(qiáng)，噪聲干擾的抵消，通信系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡，圖象的自適應(yīng)增強(qiáng)復(fù)原以及未知系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)辯識等方面都有廣泛的應(yīng)用。 信號增強(qiáng)器自適應(yīng)濾波器的一個簡單應(yīng)用就是信號增強(qiáng)器，它被用來檢測或增強(qiáng)淹沒在寬度噪聲中的窄帶隨機(jī)信號。如果作為自適應(yīng)濾波器的輸入，而將受到噪聲污染的信號作為期望信號，則當(dāng)濾波收斂以后，其輸出誤差就是信號的增強(qiáng)形式。[9]自適應(yīng)濾波器+圖22 信號增強(qiáng)。寬帶信號同時也被用來作為圖23所示的自適應(yīng)濾波器的輸入。 信道均衡器 信道均衡器的作用是在信道通帶內(nèi)形成一個信道傳輸函數(shù)的逆，而在通帶之外它的增益則很小或者為零。如果條件滿足，聯(lián)合的沖激響應(yīng)就是辛格函數(shù)，故符號間干擾可被消除。在信道均衡應(yīng)用中，將發(fā)送的受信道失真影響的原始信號作為自適應(yīng)濾波器的輸入信號，而期望信號是原始信號的時延形式，如圖24所示。當(dāng)MSE達(dá)到最小時，就表明自適應(yīng)濾波器代表了信道的逆模型(均衡器)。當(dāng)濾波器收斂以后，自適應(yīng)濾波器就代表了輸入信號的模型，而且可以用來作為輸入信號的預(yù)測器模型。自適應(yīng)濾波器具有很強(qiáng)的自學(xué)習(xí)、自跟蹤能力和算法的簡單易實現(xiàn)性，它在噪化信號的檢測增強(qiáng)，噪聲干擾的抵消，通信系統(tǒng)的自適應(yīng)均衡，圖像的自適應(yīng)增強(qiáng)復(fù)原以及未知系統(tǒng)的自適應(yīng)參數(shù)辯識等方面都有廣泛的應(yīng)用。維納濾波器等濾波器設(shè)計方法都是建立在信號特征先驗知識基礎(chǔ)上的。當(dāng)輸入信號的統(tǒng)計特性未知，或者輸入信號的統(tǒng)計特性變化時，自適應(yīng)濾波器能夠自動地迭代調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)，以滿足某種準(zhǔn)則的要求，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。在根據(jù)自適應(yīng)濾波算法優(yōu)化準(zhǔn)則的不同，自適應(yīng)濾波算法可以分為兩類最基本的算法：最小均方誤差(LMS)算法和遞推最小二乘(RLS)算法?；谧钚《藴?zhǔn)則，RLS算法決定自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)向量使估計誤差的加權(quán)平方和2最小。由此兩種準(zhǔn)則衍生出許多不同的自適應(yīng)濾波算法?；谧钏傧陆捣ǖ淖钚【秸`差(LMS)算法的迭代公式如下 XT (31) (32)其中：是收斂因子，為自適應(yīng)濾波器在時刻的權(quán)矢量，T為時刻的輸入信號矢量，是自適應(yīng)濾波器的長度。是步長因子。初始收斂速度、時變系統(tǒng)跟蹤能力及穩(wěn)態(tài)失調(diào)是衡量自適應(yīng)濾波算法優(yōu)劣的三個最重要的技術(shù)指標(biāo)。干擾噪聲越大，則引起的失調(diào)噪聲就越大。然而步長因子的減小將降低算法的收斂速度和跟蹤速度。為了克服這一矛盾，人們提出了許多變步長自適應(yīng)濾波算法。Yasukawa提出了使步長因子正比于誤差信號的大小。 RLS自適應(yīng)濾波算法 LMS算法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單，魯棒性強(qiáng)，其缺點(diǎn)是收斂速度很慢。RLS算法對輸入信號的自相關(guān)矩陣逆進(jìn)行遞推估計更新，收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻譜特性無關(guān)。為了減小RIS算法的計算復(fù)雜度，并保留RLS算法收斂速度快的特點(diǎn)，產(chǎn)生了許多改進(jìn)的RLS算法。這些算法的計算復(fù)雜度低于RLS算法，但它們都存在數(shù)值穩(wěn)定性問題。格型濾波器與直接形式的FIR濾波器可以通過濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換相互實現(xiàn)。而格型濾波器是次序遞推的，因此，它的級數(shù)的改變并不影響其它級的反射系數(shù)，這是格型濾波器的一大優(yōu)點(diǎn)。格型RLS算法的收斂速度基本上與常規(guī)RLS算法的收斂速度相同，因為二者都是在最小二乘的意義下求最佳。格型RLS算法的數(shù)字精度比常規(guī)RLS算法的精度高，對舍入誤差的不敏感性甚至優(yōu)于LMS算法。輸入信號自相關(guān)矩陣的特征值發(fā)散程度越小，LMS算法的收斂性能越好。于是，Dentino等1979年首先提出了變換域自適應(yīng)濾波的概念，其基本思想是把時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)樽儞Q域信號，在變換域中采用自適應(yīng)算法。[12]變換域自適應(yīng)濾波算法的一般步是：首先選擇正交變換，把時域信號轉(zhuǎn)變?yōu)樽儞Q域信號。最后采用某一自適應(yīng)算法進(jìn)行濾波。自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)定義為：；濾波器的輸出信號為：T；誤差信號為：；權(quán)系數(shù)向量的迭代方程為： (33) (34) (35)若令，則權(quán)系數(shù)向量的迭代方程為： (36)此外，小波變換也被用于變換域自適應(yīng)濾波。 仿射投影算法，它是歸一化最小均方誤差(NLMS)算法的推廣。歸一化最小均方誤差(NLMS)算法是LMS算法的改進(jìn)算法，它可以看作是一種變步長因子的LMS算法，其收斂性能對輸入信號的能量變化不敏感。Gay等提出的快速仿射投影算法大大降低了仿射投影算法的計算復(fù)雜度?？焖俜律渫队八惴ǖ挠嬎銖?fù)雜度雖然降低了，但其內(nèi)嵌的滑動窗快速橫向濾波器算法的實現(xiàn)相對復(fù)雜，并且存在數(shù)值穩(wěn)定性問題。 共軛梯度算法雖然RLS算法收斂速度快，但其計算復(fù)雜度很高，因為它需要估計逆矩陣。一些快速RLS算法雖然降低了RLS算法的計算復(fù)雜度，但都存在數(shù)值穩(wěn)定性問題。Alan等提供和分析了共扼梯度法在自適應(yīng)濾波中的兩種實現(xiàn)方法，這兩種方法對原始的共軛梯度法作了一些修改，并且對這兩種算法的收斂性能和失調(diào)作了比較，建立了算法的穩(wěn)定范圍。其中，由于對信號進(jìn)行了抽取，使完成自適應(yīng)濾波所需的計算量得以減??；而在子帶上進(jìn)行自適應(yīng)濾波使收斂性能又有所提高。為了避免混疊對自適應(yīng)濾波的影響，Gilloire采用加入子帶間濾波的方法，而Peraglia等采取在抽取時過采樣的方法。為了提高信號子帶分解自適應(yīng)濾波器的收斂速度，Deleon等認(rèn)為，經(jīng)過子帶分解后，抽取引起部分信號的浪費(fèi)，采用Multirate Reoeating Method可以利用那些被浪費(fèi)的信號成分，通過增加單位時間內(nèi)對權(quán)值的更新次數(shù)，獲得更快的收斂速度。OR分解類自適應(yīng)濾波算法有以下三種：QRRLS算法；Extended QRRLS算法；Inverse ORRLS算法。各種OR分解的快速自適應(yīng)濾波算法可以直接計算估計誤差，并不需要更新權(quán)系數(shù)向量。 其他自適應(yīng)濾波算法除了上面介紹的自適應(yīng)濾波算法之外，還有一些其它的算法，如：系數(shù)部分更新自適應(yīng)濾波算法、LMF(RLF)算法、LeakyLMS算法等。[14]這類算法主要有：Periodic LMS算法，MMax NLMS算法和Max NLMS算法。LMS自適應(yīng)濾波算法雖然解決了收斂速度、時變系統(tǒng)跟蹤速度與收斂精度方面對算法調(diào)整步長因子的矛盾，但變步長中的其它參數(shù)的選取還需實驗來確定，應(yīng)用起來不太方便。變換域類算法亦是想通過作某些正交變換使輸入信號自相關(guān)矩陣的特征值發(fā)散程度變小，提高收斂速度。共扼梯度自適應(yīng)濾波算法的提出是為了降低RLS類算法的復(fù)雜性和克服某些快速RLS算法存在的數(shù)值穩(wěn)定性問題。矩陣的QR分解具有良好的數(shù)值穩(wěn)定性。LMS算法是最基本的自適應(yīng)濾波算法。第4章 LMS自適應(yīng)濾波算法分析 引言LMS算法是1960年由Widrow和Hoff提出的最小均方誤差(LMS)算法，LMS算法是基于估計梯度的最速下降算法的，由于采用粗糙的梯度估計值得到的，從而其算法性能欠佳，應(yīng)用范圍受限，但是因為其具有計算量小、易于實現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而在實踐中被廣泛采用。LMS算法的基本原理是基于最速下降法，即沿著權(quán)值的梯度估值的負(fù)方向進(jìn)行搜索，達(dá)到權(quán)值最優(yōu)，實現(xiàn)均方誤差最小意義下的自適應(yīng)濾波。由于主輸入端不可避免地存在干擾噪聲，自適應(yīng)濾波算法將產(chǎn)生參數(shù)失調(diào)噪聲。減小步長因子產(chǎn)可降低自適應(yīng)濾波算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào)，提高算法的收斂精度。絕大多數(shù)對自適應(yīng)濾波器的研究是基于由Widrow提出的LMS算法。[16]令階FIR濾波器的抽頭系數(shù)為，濾波器的輸入和輸出分別為和，則FIR橫向濾波器方程可表示為：(41)令代表“所期望的響應(yīng)”，并定義誤差信號： (42) 采用向量形式表示權(quán)系數(shù)及輸入和，可以將誤差信號寫作 (43)誤差的平方為： (44)上式兩邊取數(shù)學(xué)期望后，得均方誤差： (45)定義互相關(guān)函數(shù)向量： (46)和自相關(guān)函數(shù)矩陣： (47)所以均方誤差可表述為： (48)這表明均方誤差是權(quán)系數(shù)向量的二次函數(shù)，它是一個凹的拋物形曲面，是具有唯一最小值的函數(shù)。可以用梯度法來求該最小值。Widrow和Hoff提出了一種在這些先驗統(tǒng)計知識未知時求的近似值的方法，習(xí)慣上稱之為WidrowHoff LMS算法。根據(jù)這個最速下降法，“下一時刻” 權(quán)系數(shù)向量應(yīng)該等于“現(xiàn)時刻”權(quán)系數(shù)向量加上一個負(fù)均方誤差梯度的比例項，即 (412)式中的是一個控制收斂速度與穩(wěn)定性的常數(shù)，稱之為收斂因子。精確計算梯度是十分困難的。其輸出信號、輸出誤差及權(quán)系數(shù)的計算公式為：[17] (417)為迭代次數(shù)，M為濾波器的階數(shù)。自適應(yīng)濾波器收斂的條件是： (420)其中是輸入信號的自相關(guān)矩陣R的最大特征值。它控制了算法穩(wěn)定性和自適應(yīng)速度，如果很小，算法的自適應(yīng)速度會很慢；如果很大，算法會變得不穩(wěn)定。在最小均方差(LMS)算法中，步長因子的取值對算法的性能有著非常重要的影響，這些影響包括：算法的穩(wěn)定性、算法的收斂速度、算法的擾動和失調(diào)。為減小失調(diào)，需要設(shè)置較小的步長因子，這會使算法的收斂速度降低，這構(gòu)成了一對矛盾。從收斂速度的角度考慮，步長因子應(yīng)該盡可能大，但較大的取值卻會加重算法的失調(diào)。這些影響主要表現(xiàn)為算法的失調(diào)，而失調(diào)的嚴(yán)重程度，則和的取值存在直接關(guān)系。關(guān)于LMS算法的收斂速度，將討論兩點(diǎn)：第一，對一個特定的信號環(huán)境，收斂速度和步長因子有何關(guān)系。從收斂速度的角度考慮，步長因子應(yīng)該盡可能大，再看信號環(huán)境，即的特性對算法收斂性能的影響如果當(dāng)特征值的分布范圍較大，即最大特征值和最小特征值之比較大時，公比的取值幅度也將比較大，算法的總的收斂速度將會變得比較慢。但是固定步長的LMS自適應(yīng)算法在收斂速率、跟蹤速率及權(quán)失調(diào)噪聲之間的要求是相互矛盾的，為了克服這一缺點(diǎn)，人們研究出了各種各樣的變步長LMS的改進(jìn)算法。 本章小結(jié)本章詳細(xì)介紹了LMS算法，并對與其性能相關(guān)的各個方面進(jìn)行了討論。猶豫傳統(tǒng)的LMS算法有很多不足的，所以人們通過改進(jìn)，研究出很多種變步長LMS算法。第5章 RLS自適應(yīng)濾波算法分析 引言最小二乘(LS，Leastsquare)算法旨在期望信號與模型濾波器輸出之差的平方和達(dá)到最小。RLS算法能實現(xiàn)快速收斂，即使是在輸入信號相關(guān)矩陣的特征值擴(kuò)展比較大的情況下。 遞歸最小二乘(RLS)算法這一節(jié)主要介紹遞歸最小二乘法(RLS)算法是一種快速收斂的算法，該算法判決依據(jù)是直接處理接受數(shù)據(jù)，使其二次性能指數(shù)函數(shù)最小，而前面所述的LMS算法則是使平方誤差的期望值最小。此時，一方面，恢復(fù)誤差： (51)另一方面，可以將視作為的預(yù)測。但是由于真實信號未知，故是不可觀測的或無法計算的。具體的，考慮到 (54)的最小化。由 (55)可得到等價關(guān)系式： (56)若令： (57) (58)則式(56)可簡寫為： (59)假定是非奇異的，則： (510)這就是濾波器濾波參數(shù)的公式，之所以記作，是因為隨著時間而改變。依據(jù)式(510)來調(diào)整濾波器參數(shù)有兩處不便。第二，與預(yù)測誤差之間也未建立任何關(guān)系，不能達(dá)到根據(jù)預(yù)測誤差來調(diào)整濾波器參數(shù)的要求。利用此公式，可以將式(57)的改寫作 (512)注意到和式(511)，用式乘上式后得到： (513)為了簡化第一項的表達(dá)，并建立與之間的關(guān)系，一種合理的想法是認(rèn)為時刻及其以前時刻的濾波器參數(shù)相同，即： ……. 這樣，利用式(57)及上述假定，就有 (514)另一方面，為了簡化的表達(dá)，一種合理的想法就是：認(rèn)為遺忘因子。從而，有下列的簡化結(jié)果：