【正文】 21 TT jn tnF f t e dtT ???? ? ? ?27? 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉綜合 任何滿足狄里赫里條件的周期信號(hào)，可以表示成式 ? ?21? 或 ? ?26? 的和式形式， ? ?21?或 ? ?26? 式常稱為 連續(xù) 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù) 綜合公式。但對(duì)數(shù)值計(jì)算來(lái)說(shuō)，這是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。 5 為了比較有限項(xiàng)諧波的逼近情況，本次課設(shè)編寫了程序來(lái)繪制波形以給讀者一個(gè)直觀的感受。如圖 所示。由圖 ，合成波形所包含的諧波分量愈多時(shí)，除間斷點(diǎn)附近外，它越接近于原矩形波脈沖。可以證明，即使合成波形所含諧波次數(shù) n?? 時(shí)，在間斷點(diǎn)處仍有約 9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（ Gibbs）現(xiàn)象。 6 吉布斯現(xiàn) 象 上一節(jié)中我們提到了吉布斯現(xiàn)象，本節(jié)我們將作重點(diǎn)來(lái)討論。狄里赫利條件如下： 1. 在任何周期內(nèi)， x(t)必須絕對(duì)可積； 2. 在任一有限區(qū)間中， x(t)只能取有限個(gè)最大值或最小值； 3. 在任何有限區(qū)間上， x(t)只能有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。 具體現(xiàn)象如下圖所示，以下分別為諧波次數(shù)為 N=50， N=100， N=500 合成波的情況。 7 3 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的頻譜分析 與 雙邊頻譜關(guān)系 如前所述，周期信號(hào)可以分解成一系列正弦（余弦）信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和 ， 為了直觀地表示出信號(hào)所含各分量的振幅 nA 或 ||nF ，隨頻率的變化情況，通常以角頻率為橫坐標(biāo)，以各次諧波的振幅 nA 或虛指數(shù)函數(shù) ||nF 的幅度為縱坐標(biāo)，畫出如圖 的振幅 nA 或 ||nF 與角頻率的關(guān)系圖，稱為周期信號(hào)的幅度（振幅）頻譜，簡(jiǎn)稱幅度譜。各譜線頂 點(diǎn)連線的曲線（如圖中原點(diǎn)所示）稱為頻譜包絡(luò)線，它反映了各諧波分量幅度隨頻率變化的情況。圖 （用 ||nF 繪制的頻譜）。圖 。如果 nF 為實(shí)數(shù)，那么可用 nF 的正負(fù)來(lái)表示 n? 為 0或 ? 也可把幅度譜和相位譜畫在一張圖上。 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 510 50 100 15000 . 0 50 . 10 50 100 150505 圖 周期信號(hào)的單邊幅度譜和相位譜 8 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 51 1 5 0 1 0 0 5 0 0 50 100 15000 . 0 50 . 1 1 5 0 1 0 0 5 0 0 50 100 15042024 圖 周期信號(hào)的雙邊幅度譜和相位譜 由此可見周期信號(hào)頻譜具有三個(gè)特點(diǎn)： （ 1）離散性，即譜線是離散的； （ 2）諧波性，即譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上； （ 3）收斂性，即諧波的幅度隨諧波次數(shù)的增高而減小 [3]。 ，研究脈沖寬度與頻譜的關(guān)系 首先令方波首 期 T=5。在 MATLAB 軟件里可以比較方便地改變這個(gè)值。x1/2)+1/2.*(x==1/2)。下面是比較三種不同τ值的矩形脈沖單邊頻譜圖像。 由于周期 T相同，因而相鄰譜線的間隔相同；脈沖寬度窄，其頻譜包絡(luò)線第一個(gè)零點(diǎn)的頻率愈高，即信號(hào)帶寬愈寬，頻帶內(nèi)所含的分量愈多。 ，研究脈沖周期與頻譜的關(guān)系 上面是改變?chǔ)又祦?lái)觀察頻譜的變化情況，現(xiàn)在來(lái)改變 T 值以達(dá)到改變頻譜的目的。b=5。這幾句代碼是用來(lái)控制方波的 T 值的， ba就是方波的周期 T，在 上面 的討 論中 使用 的參 數(shù)是 a=5,b=5 ，現(xiàn) 在將 τ的 參數(shù) ，即 這 句xsqual=(x)1/2.*(x==1/2)+1.*(x1/2amp。 圖 不同 T值的頻譜 通過(guò)觀察以上三個(gè)圖像中第一個(gè)零點(diǎn)的位置，不難看出：當(dāng)方波的周期越大，頻譜就越密集，周期越小，頻譜就越稀疏，其實(shí)這點(diǎn)也不難理解。 由于周期脈沖信號(hào)的時(shí)域?qū)挾炔蛔儯@時(shí)頻譜包絡(luò) 線的零點(diǎn)所在位置不變，而當(dāng)周期增長(zhǎng)時(shí)，相鄰譜線的間隔減少，頻譜變密。隨著周期的增長(zhǎng)，各諧波分量的幅度也相應(yīng)減少。 11 4 典型周期脈沖的頻譜 周期方波脈沖頻譜的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 周期方波脈沖信號(hào)如圖 ，其幅度為 1，脈沖寬度 ‘占空比 ’： duty=，周期 T=5。調(diào)用函數(shù) ，即可繪出方波脈沖的雙邊頻譜，其中周期 T和占空比 duty可變，修改程序即可得到單邊頻譜。 12 周期方波脈沖 雙邊 頻譜的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的雙邊頻譜 a 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 75% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的雙邊頻譜 b 13 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 5 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的雙邊頻譜 c 由 上面三個(gè) 圖可以看出， 當(dāng) T一定時(shí)占空比越大頻譜主瓣的寬度越大，當(dāng)占空比一定時(shí)周期越小頻譜的主瓣寬度越大。 周期方波脈沖 單邊 頻譜的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 4周期方波脈沖的單邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的單邊頻譜 a 14 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 1 0 ，占空比為 75% 的周期方波脈沖0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 20 . 4周期方波脈沖的單邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的單邊頻譜 b 1 0 8 6 4 2 0 2 4 6 8 101 0 . 500 . 51T = 5 ，占空比為 50% 的周期方波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期方波脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期方波脈沖 的單邊頻譜 c 單邊頻譜就是雙邊頻譜正半軸部分，其具有的規(guī)律也與雙邊頻譜相同。 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 201 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81周期三角波 圖 周期三角波脈沖 MATLAB 內(nèi)置有產(chǎn)生三角波的函數(shù) sawtooth(t)，其調(diào)用格式為 :x= sawtooth(t,width)；根據(jù) width值的不同產(chǎn)生不同形狀的三角波 ,參數(shù) width 是 0— 1 之間的標(biāo)量 ,指定在一個(gè)周期之間最大值的位置 ,width是該位置的橫坐標(biāo)和周期的比值 .因而 ,當(dāng) width= 時(shí)產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱三角波，當(dāng) width不等于 （可缺省）產(chǎn)生鋸齒波。 16 周期 三角波雙邊 頻譜的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 3 0 2 0 1 0 0 10 20 301 0 . 500 . 51T = 5 ，脈寬為 0 . 5 的周期三角波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 10 . 2連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期三角脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期三角波脈沖 的雙邊頻譜 a 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 201 0 . 500 . 51T = 1 0 ，脈寬為 0 . 5 的周期三角波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 10 . 2連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期三角脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期三角波脈沖 的雙邊頻譜 b 17 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 201 0 . 500 . 51T = 1 0 ，脈寬為 1 的周期三角波脈沖 2 0 1 5 1 0 5 0 5 10 15 2000 . 20 . 4連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期三角脈沖的雙邊幅度譜 圖 周期三角波脈沖 的雙邊頻譜 c 由上面三個(gè)圖可以看出，當(dāng)三角波為脈寬 width= 0點(diǎn)的幅值為零。 周期 三角波單邊 頻譜的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 3 0 2 0 1 0 0 10 20 301 0 . 500 . 51T = 1 0 , 脈寬為 0 . 5 的周期三角波脈沖0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2000 . 10 . 2連續(xù)時(shí)間函數(shù)周期三角脈沖的單邊幅度譜 圖 周期三角波脈沖 的單邊頻譜 a 18 3 0 2 0 1 0 0