等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題答案-在線瀏覽
2025-08-12 04:00本頁(yè)面
【正文】 ，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù).類型六：等比數(shù)列的判斷與證明例6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是何種數(shù)列？思路點(diǎn)撥：由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)通項(xiàng)公式判斷{an}類型.舉一反三：【變式1】已知數(shù)列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且數(shù)列{Cn+1pCn}為等比數(shù)列，求常數(shù)p。上述兩個(gè)命題中，真命題為 個(gè).經(jīng)典例題透析類型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 例1．等比數(shù)列中，, ,求.思路點(diǎn)撥：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過(guò)已知條件可列出關(guān)于和的二元方程組，解出和，可得；或注意到下標(biāo)，可以利用性質(zhì)可求出、再求.解析：法一：設(shè)此數(shù)列公比為，則由(2)得：..........(3) ∴.由(1)得： , ∴ ......(4)(3)247?！敬鸢浮?77。2，∴a6=177。48q=177。96?！敬鸢浮?4；∵，又an＞0，∴a45=4∴?！敬鸢浮炕?；法一：∵，∴，∴從而解之得，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)。法二：由等比數(shù)列的定義知，代入已知得將代入（1）得，解得或由（2）得或 ，以下同方法一。舉一反三：【變式1】求等比數(shù)列的前6項(xiàng)和?！咀兪?】已知：{an}為等比數(shù)列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【答案】；∵，則a1=1或a1=9∴.【變式3】在等比數(shù)列中，求和?！嗷?。a100=100。a2……a100=a2a98=……=a50a100)50=50lg(a1【變式2】在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_(kāi)_______。法二：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為，公比為，則，加入的三項(xiàng)分別為，由題意，也成等比數(shù)列，∴，故，∴。思路點(diǎn)撥：等差數(shù)列中也有類似的題目，我們?nèi)匀徊捎玫炔顢?shù)列的解決辦法，即等比數(shù)列中前k項(xiàng)和，第2個(gè)k項(xiàng)和，第3個(gè)k項(xiàng)和，……，第n個(gè)k項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列。①得，即 ③③代入①得，∴。舉一反三：【變式1】等比數(shù)列中，公比q=2, S4=1,則S8=___________.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【變式2】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20S10，S30S20構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S20S10)2=S10(1)得：1+qn=82,∴qn=81......(3)∵該數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，∴由(3)知q1∴{an}為遞增數(shù)列，∴an為最大項(xiàng)54.∴an=a1qn1=54,∴a1qn=54q,∴81a1=54q..........(4)∴代入(1)得，∴q=3,∴n=4.【變式4】等比數(shù)列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 則a5+a6=_____________.【答案】4；令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q), 易知：b1, b2, b3成等比數(shù)列，∴b3===4,即a5+a6=4.【變式5】等比數(shù)列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。一般地，三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)此三數(shù)為ad, a, a+d；
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