數(shù)值分析第三版課本習(xí)題及答案-在線瀏覽
2024-08-04 21:25本頁(yè)面
【正文】 4. 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當(dāng)時(shí)，它原初值問題的準(zhǔn)確解。6. 取h=，用四階經(jīng)典的龍格－庫(kù)塔方法求解下列初值問題： 1） 2）7. 證明對(duì)任意參數(shù)t，下列龍格－庫(kù)塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格－庫(kù)塔方法是三階的：1） 2） 9. 分別用二階顯式亞當(dāng)姆斯方法和二階隱式亞當(dāng)姆斯方法解下列初值問題：取計(jì)算并與準(zhǔn)確解相比較。11. 導(dǎo)出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3） 13. 取h=，用差分方法解邊值問題14. 對(duì)方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問題驗(yàn)證計(jì)算解恒等于準(zhǔn)確解15. 取h=第六章 方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差。3. 為求方程在附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。5. 給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切存在且，證明對(duì)于范圍內(nèi)的任意定數(shù)λ，迭代過程均收斂于的根。7. 用下列方法求在附近的根。1) 用牛頓法；2）用弦截法，?。?）用拋物線法，取。9. 研究求的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1) 2) 12. 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。14. 應(yīng)用牛頓法于方程和，分別導(dǎo)出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計(jì)算的三階方法。2. (a) 設(shè)A是對(duì)稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對(duì)稱矩陣。5. 由高斯消去法說明當(dāng)時(shí)，則A=LU，其中L為單位下三角陣，U 為上三角陣。證明：若A是對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式。9. 試推導(dǎo)矩陣A的Crout分解A=LU的計(jì)算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。(a) 就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，病寫出算法。(c) 設(shè)U為非奇異陣，試推導(dǎo)求的計(jì)算公式。12. 用高斯－約當(dāng)方法求A的逆陣：13. 用追趕法解三對(duì)角方程組，其中14. 用改進(jìn)的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為L(zhǎng)U（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.17. 如果方陣A 有，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設(shè)A滿足三角分解條件，試推導(dǎo)的計(jì)算公式，對(duì)1） ；2） .18. 設(shè)，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2范數(shù)及F范數(shù)。20. 設(shè) 且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。21. 設(shè)為對(duì)稱正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。23. 證明：當(dāng)且盡當(dāng)x和y線性相關(guān)且時(shí)，才有。25. 令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實(shí)（或復(fù)）矩陣，定義范數(shù)，證明。28. 設(shè)A為非奇異矩陣，求證。證明當(dāng)時(shí)，有最小值。33. 證明：如果A是正交陣，則。第八章 解方程組的迭代法1. 設(shè)方程組 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯塞德爾迭代法解此方程組的收斂性。6. 求證的充要條件是對(duì)任何向量x，都有7. 設(shè)，其中A對(duì)稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習(xí)題5(a)方程組。9. 用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并且對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù)。11. 設(shè)有方程組，其中A為對(duì)稱正定陣，迭代公式 試證明當(dāng)時(shí)上述迭代法收斂（其中）。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。(d) 由此推出，如果A是具有正對(duì)角元素的非奇異矩陣，且高斯－塞德爾方法對(duì)任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個(gè)方法的收斂速度。15. 設(shè)，試說明A為可約矩陣。17. 畫出SOR迭代法的框圖。19. 設(shè)，其中A為非奇異陣。第九章 矩陣的特征值與特征向量計(jì)算1. 用冪法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量：(a) , (b) ,當(dāng)特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止。4. 求矩陣與特征值4對(duì)應(yīng)的特征向量。6. (a)設(shè)A是對(duì)稱矩陣，λ和是A的一個(gè)特征值及相應(yīng)的特征向量，又設(shè)P為一個(gè)正交陣，使證明的第一行和第一列除了λ外其余元素均為零。7. 利用初等反射陣將正交相似約化為對(duì)稱三對(duì)角陣。9. 設(shè)是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設(shè)y是的一個(gè)特征向量。11. 試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣。2． 。4． 。6． 。8．9． 。11． ，計(jì)算過程不穩(wěn)定。13． ，開平方時(shí)用六位函數(shù)表計(jì)算所得的誤差為，分別代入等價(jià)公式中計(jì)算可得。15．第二章 插值法習(xí)題參考答案1. ；.2. .3. 線性插值：取，則； 二次插值：取，則＝－ .4. ，其中.所以總誤差界 .5. 當(dāng) 時(shí)，取得最大值 .6. i) 對(duì)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，則有 由于，故有. ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進(jìn)行n次拉格朗日插值，有.插值余項(xiàng)為 ，由于 故有令即得 .7. 以a, b兩點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)作的一次插值多項(xiàng)式，據(jù)余項(xiàng)定理，由于故8. 截?cái)嗾`差 其中 則時(shí)取得最大值 .由題意， 所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)時(shí)，為m－1次多項(xiàng)式；假設(shè) 是mk 次多項(xiàng)式，設(shè)為，則為m(k+1)次多項(xiàng)式，得證。16. 17. 即均為的二重零點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)有由定義知當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于。}float I(float x,float a,float b){ return((xb)/(ab)*f(a)+(xa)/(ba)*f(b))。 float x[11],xc,xx。 printf(x[0]=%f\n,x[0])。i=10。 printf(x[%d]=%f\n,i,x[i])。i10。 I(xc,x[i],x[i+1])。 } for(i=0。i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2。 printf(f[%d]=%f\n,i+1,f(xx))。 ii) 由于為三次函數(shù)，故為常數(shù)，又，則，所以。(b) ，相應(yīng)的麥克勞林級(jí)數(shù)分別為，部分和誤差則為，大于伯恩斯坦多項(xiàng)式的誤差。3. ，對(duì)任意不超過6次的多項(xiàng)式，在時(shí)，若有，則在上至少有7個(gè)零點(diǎn)，這與不超過6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多項(xiàng)式。5. 原函數(shù)與零的偏差極大值點(diǎn)分別
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