數(shù)值分析第三版課本習題及答案-在線瀏覽
2024-08-04 21:25本頁面
【正文】 4. 用梯形方法解初值問題證明其近似解為并證明當時，它原初值問題的準確解。6. 取h=，用四階經(jīng)典的龍格－庫塔方法求解下列初值問題： 1） 2）7. 證明對任意參數(shù)t，下列龍格－庫塔公式是二階的：8. 證明下列兩種龍格－庫塔方法是三階的：1） 2） 9. 分別用二階顯式亞當姆斯方法和二階隱式亞當姆斯方法解下列初值問題：取計算并與準確解相比較。11. 導出具有下列形式的三階方法：12. 將下列方程化為一階方程組：1）2）3） 13. 取h=，用差分方法解邊值問題14. 對方程可建立差分公式試用這一公式求解初值問題驗證計算解恒等于準確解15. 取h=第六章 方程求根1. 用二分法求方程的正根，要求誤差。3. 為求方程在附近的一個根，設將方程改寫成下列等價形式，并建立相應的迭代公式。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根。5. 給定函數(shù)，設對一切存在且，證明對于范圍內(nèi)的任意定數(shù)λ，迭代過程均收斂于的根。7. 用下列方法求在附近的根。1) 用牛頓法；2）用弦截法，??；3）用拋物線法，取。9. 研究求的牛頓公式證明對一切且序列是遞減的。11. 試就下列函數(shù)討論牛頓法的收斂性和收斂速度：1) 2) 12. 應用牛頓法于方程，導出求立方根的迭代公式，并討論其收斂性。14. 應用牛頓法于方程和，分別導出求的迭代公式，并求15. 證明迭代公式是計算的三階方法。2. (a) 設A是對稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為證明A2是對稱矩陣。5. 由高斯消去法說明當時，則A=LU，其中L為單位下三角陣，U 為上三角陣。證明：若A是對角優(yōu)勢陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A具有形式。9. 試推導矩陣A的Crout分解A=LU的計算公式，其中L為下三角陣，U為單位上三角陣。(a) 就U為上及下三角矩陣推導一般的求解公式，病寫出算法。(c) 設U為非奇異陣，試推導求的計算公式。12. 用高斯－約當方法求A的逆陣：13. 用追趕法解三對角方程組，其中14. 用改進的平方根法解方程組15. 下述矩陣能否分解為LU（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一？16. 試劃出部分選主元素三角分解法框圖，并且用此法解方程組.17. 如果方陣A 有，則稱A為帶寬2t+1的帶狀矩陣，設A滿足三角分解條件，試推導的計算公式，對1） ；2） .18. 設，計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2范數(shù)及F范數(shù)。20. 設 且非奇異，又設為上一向量范數(shù)，定義。21. 設為對稱正定陣，定義，試證明為上向量的一種范數(shù)。23. 證明：當且盡當x和y線性相關且時，才有。25. 令是（或）上的任意一種范數(shù)，而P是任意非奇異實（或復）矩陣，定義范數(shù)，證明。28. 設A為非奇異矩陣，求證。證明當時，有最小值。33. 證明：如果A是正交陣，則。第八章 解方程組的迭代法1. 設方程組 (a) 考察用雅可比迭代法,高斯塞德爾迭代法解此方程組的收斂性。6. 求證的充要條件是對任何向量x，都有7. 設，其中A對稱正定，問解此方程組的雅可比迭代法是否一定收斂？試考察習題5(a)方程組。9. 用SOR方法解方程組（分別取松弛因子）精確解要求當時迭代終止，并且對每一個值確定迭代次數(shù)。11. 設有方程組，其中A為對稱正定陣，迭代公式 試證明當時上述迭代法收斂（其中）。(a) 證明 ；(b) 如果，其中是方程組的精確解，求證：其中 。(d) 由此推出，如果A是具有正對角元素的非奇異矩陣，且高斯－塞德爾方法對任意初始向量是收斂的，則A是正定陣。(a) 找出下列迭代方法收斂的充要條件(b) 找出下列迭代方法收斂的充要條件比較兩個方法的收斂速度。15. 設，試說明A為可約矩陣。17. 畫出SOR迭代法的框圖。19. 設，其中A為非奇異陣。第九章 矩陣的特征值與特征向量計算1. 用冪法計算下列矩陣的主特征值及對應的特征向量：(a) , (b) ,當特征值有3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止。4. 求矩陣與特征值4對應的特征向量。6. (a)設A是對稱矩陣，λ和是A的一個特征值及相應的特征向量，又設P為一個正交陣，使證明的第一行和第一列除了λ外其余元素均為零。7. 利用初等反射陣將正交相似約化為對稱三對角陣。9. 設是由豪斯荷爾德方法得到的矩陣，又設y是的一個特征向量。11. 試用初等反射陣A分解為QR，其中Q為正交陣，R為上三角陣。2． 。4． 。6． 。8．9． 。11． ，計算過程不穩(wěn)定。13． ，開平方時用六位函數(shù)表計算所得的誤差為，分別代入等價公式中計算可得。15．第二章 插值法習題參考答案1. ；.2. .3. 線性插值：取，則； 二次插值：取，則＝－ .4. ，其中.所以總誤差界 .5. 當 時，取得最大值 .6. i) 對在處進行n次拉格朗日插值，則有 由于，故有. ii) 構(gòu)造函數(shù)在處進行n次拉格朗日插值，有.插值余項為 ，由于 故有令即得 .7. 以a, b兩點為插值節(jié)點作的一次插值多項式，據(jù)余項定理，由于故8. 截斷誤差 其中 則時取得最大值 .由題意， 所以，9. 則可得， ，則可得10. 數(shù)學歸納法證當時，為m－1次多項式；假設 是mk 次多項式，設為，則為m(k+1)次多項式，得證。16. 17. 即均為的二重零點。當時，此時有由定義知當時，在上一致收斂于。}float I(float x,float a,float b){ return((xb)/(ab)*f(a)+(xa)/(ba)*f(b))。 float x[11],xc,xx。 printf(x[0]=%f\n,x[0])。i=10。 printf(x[%d]=%f\n,i,x[i])。i10。 I(xc,x[i],x[i+1])。 } for(i=0。i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2。 printf(f[%d]=%f\n,i+1,f(xx))。 ii) 由于為三次函數(shù)，故為常數(shù)，又，則，所以。(b) ，相應的麥克勞林級數(shù)分別為，部分和誤差則為，大于伯恩斯坦多項式的誤差。3. ，對任意不超過6次的多項式，在時，若有，則在上至少有7個零點，這與不超過6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多項式。5. 原函數(shù)與零的偏差極大值點分別
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