極限的存在性、求法、應(yīng)用與推廣-在線瀏覽
2025-08-11 02:43本頁面
【正文】 nature, an important concept is a continuity. But the continuity also has the limit to define. The limit is in the mathematical analysis a most basic operation. This article first studies the separate limit, namely the sequence limit, then studies the continual limit, namely the limit of function, including the definition and the nature, the existence, the application, asks the law as well as the asking method promotion.Key Words：Limit Sequence Function Relations Solution method Promotion引 言如果說數(shù)學(xué)分析就是一座高聳的大廈，那么極限理論就是它的基石。極限是高等數(shù)學(xué)中的重要組成部分，它是研究高等數(shù)學(xué)中其它問題的重要工具。因此，掌握極限的求法顯得尤為重要。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有則稱數(shù)列收斂與，定數(shù)稱為數(shù)列的極限。（二）常用極限： （三）數(shù)列極限的性質(zhì)：惟一性：若數(shù)列的極限存在（收斂），則極限值惟一。保號性：若0（或0），則對任何（或），存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有（或）。若存在正數(shù)，使得當(dāng) 時(shí)有，則。推廣：若，且，則，有。（四）四則運(yùn)算法則：若與均為收斂數(shù)列，則也都是收斂數(shù)列，且有，若假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列，且有由上述條件還可得到：，二、極限數(shù)列的存在條件（一）單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，若數(shù)列單調(diào)上升（下降）有上（下）界，則數(shù)列存在極限，既數(shù)列收斂。證明 令 ，先證它單調(diào)上升 ，即單調(diào)上升。 由定理可知存在，其值為，即。例設(shè)，試證：存在。三、數(shù)列極限的求法（一）利用數(shù)列極限定義證明極限成立。小結(jié)：用定義證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大所要估計(jì)的量，在適當(dāng)放大時(shí)，也有細(xì)微的不同，這細(xì)微的不同引起解不等式的難易程度也不同。（二）利用數(shù)列極限四則運(yùn)算法則求極限。例求極限解?。病⒎纸庖蚴嚼髽O限解 注：本題原本是型，但運(yùn)用四則運(yùn)算法則變形后使本題求解更簡捷。（三）利用數(shù)列極限迫斂性求極限。（四）利用單調(diào)有界必有極限定理求數(shù)列極限。證明：數(shù)列的極限存在，并求其極限。 此外由可得，故為遞減數(shù)列。小結(jié)：定理只適合用于判別單調(diào)數(shù)列的收斂性，有很大的局限性。利用此定理解題，往往先用其證明極限存在，再設(shè)出極限，利用關(guān)系式求出極限。例求極限解 考察級數(shù)，令，則 ，故級數(shù)收斂，小結(jié)：當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，必有，對比較復(fù)雜的借助級數(shù)收斂求極限有時(shí)比較容易。四、數(shù)列極限在購房按揭貸款分期償還問題中的應(yīng)用。（1）求（2）求出每月償還額，使在個(gè)月后正好償還清全部按揭貸款本息。若，則欠款恒為常數(shù)，仍然是還不清的。令，則由式得，解得：Ⅱ、函數(shù)極限一、函數(shù)極限的概念（一）趨于時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)為定義在上的函數(shù)，為常數(shù)。（二）趨于時(shí)函數(shù)的極限 設(shè)為定義在上的函數(shù)，為常數(shù)。注：若為定義在上的函數(shù)則（三）趨于時(shí)函數(shù)的極限（函數(shù)極限的定義） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)。記作：或。若對任給的，存在正數(shù)，是使得當(dāng)時(shí)有，則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的左右極限，記作：或。在點(diǎn)的右極限與左極限又分別記為：與注：函數(shù)極限與相應(yīng)的左、右極限之間的關(guān)系：二、函數(shù)極限的性質(zhì)
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