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函數(shù)極值的求法及其應(yīng)用-在線瀏覽

2025-08-09 03:46本頁面
  

【正文】 問題,而且這與生物體有機(jī)體統(tǒng)一起來了。學(xué)習(xí)中遇到的極值問題我們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分相關(guān)知識后就可以解決了,生活中的碰到很多的實(shí)際問題都可以先建立起數(shù)學(xué)模型,再轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀償?shù)學(xué)中的問題來解決。函數(shù)的定義如下:設(shè)給定兩個變量x和y,其變動區(qū)域?yàn)镸和N,如果M中的每一個x值,總有一個確定的y值(在N內(nèi))和它對應(yīng),則變量y稱為變量x的函數(shù)。我們生活中的很多實(shí)際問題可以歸類轉(zhuǎn)化為與函數(shù)有關(guān)的問題。什么是極值呢?假設(shè)函數(shù)fx在x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,如果fx0的值小于(或者大于)在x0附近的所有各點(diǎn)的函數(shù)值,那么稱fx0是函數(shù)fx的極小值(或極大值),記作ymax=fx0,(或ymin=fx0),在大學(xué)數(shù)學(xué)里,極值的概念就更為精密了。這是最為嚴(yán)格意義上的極值定義即概念。 極值的充分條件我們學(xué)過費(fèi)馬定理知道了如何判別極值,費(fèi)馬定理表述如下:如果函數(shù)f在x0可導(dǎo),且x0為f的極值點(diǎn),則f39。這也告訴我們可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0取極值的必要條件是f39。 :設(shè)f在點(diǎn)x0連續(xù),在某鄰域U0x0。(i)若當(dāng)x∈(x0δ,x0)時f39。x0,則在點(diǎn)x0取得極小值。x0,當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時f39。評價:華東師范大學(xué)版數(shù)學(xué)分析此定理給出了簡單函數(shù)的極值的求法及其判別,下面我們舉幾個例子。 解:因?yàn)楹瘮?shù)fx在上有定義且連續(xù),由題意可以得到 f39。x=0得,當(dāng)x≤1時,f39。x≥0函數(shù)fx遞增。我們在求簡單的函數(shù)的極值時,一般可以先求導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)等于零,在求出穩(wěn)定點(diǎn),最后判斷是極大值還是(極小值)。x=6x2+6ax+3(a+2),因?yàn)楹瘮?shù)fx有兩個極值。既a的取值范圍為(∞,15)∪(1+5,+∞).解析:本題在已知函數(shù)fx在有極值的情況下,考察它的導(dǎo)數(shù)的到f39。把極值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的判別式的問題,這樣我們就跟清楚了。 解: 由題意f39。x=0得穩(wěn)定點(diǎn)x=177。x0+0fx↘極小值為2↗極大值為2↘由表格我們可以清楚的看到,函數(shù)fx的極小值為fxmin=f1=2,極大值為fxmax=f1=2.解析:對于復(fù)雜函數(shù)求極值,我們可以先求出導(dǎo)函數(shù)和穩(wěn)定點(diǎn),再列出表格,我們就可以的到極值了。那么如果f是二階可導(dǎo)的函數(shù)呢?我們將在下面討論。δ上可導(dǎo),在 x=x0出二階可導(dǎo),且f39。(i) 若f″x0,則f在x0取得極大值;(ii) 若f″x0,則f在x0取得極小值。x=2x54x2=2x354x2令f39。極小值f3=153.分析:此題解決了一階導(dǎo)數(shù)不能求出函數(shù)極值的問題,若函數(shù)二階可導(dǎo),我們可以根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性,確定函數(shù)在這個點(diǎn)取得極大值還是極小值。: 設(shè)f 在x0的某鄰域存在直到n1階導(dǎo)函數(shù),在x0處n階可導(dǎo),且fkx0=0 (k=0,1,2…,n1), fnx0≠0,則(i) 當(dāng)n為偶數(shù)時,f在x0處取得極值,且當(dāng)fnx00,則f在x0取得極大值;fnx00,則f在x0取得極小值;(ii) 當(dāng)n 為奇數(shù)時,f在x0處不取得極值。教材沒給出證明。xxx0+12!f″x0(xx0)2+…+fnn!xx0n+o((xx0)n).由于fkx0=0 (k=0,1,2…,n1),所以有:fxfx0=1n!fnx0+o(1)xx0n (1)又因?yàn)閒nx0≠0,δ39。δ時,1n!fnx0和1n!fnx0+o(1)是同號的。所以當(dāng)fnx00時,函數(shù)f取得極大值;當(dāng)fnx00時,f取得極小值。x=5x4+4x36x24x+1=(x1)x+12(5x1),令f39。39。39。39。39。那么我們會想會不會遇到有些函數(shù)不能夠用這些方法呢?答案是肯定的。fx=e2x20 x≠0 x=0 ,很顯然,我們可以看到函數(shù)fx在x=0的處任意階倒數(shù)都等于0,所以不能用判定極值的充分條件。我們就一起來探討:=ax2+bx+c (a≠0),當(dāng)x=b2a時有極值;當(dāng)a0時,有極大值;當(dāng)a0時,有極小值。我們畫出二次函數(shù)的圖像就知道,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,開口方向向上(或向下),因此它只有一個頂點(diǎn),這些不難從圖上看出。圖像的最高點(diǎn)就是函數(shù)的極大值,圖像的最低點(diǎn)就是函數(shù)的極小值。(1)配方法: 對于二次函數(shù)fx=ax2+bx+c (a≠0),我們經(jīng)配方的變形后變?yōu)椋? fx=ax+b2a2+4acb24a當(dāng)a0時,函數(shù)有極大值,fxmax=fb2a=4acb24a當(dāng)a0時,函數(shù)有極小值,fxmin=fb2a=4acb24a.(2)判別式法: 因?yàn)槎魏瘮?shù)的極值只有一個,我們把函數(shù)式子變形之后再求二次函數(shù)的極值還可以發(fā)現(xiàn)用判別式法:fx=ax2+bx+c (a≠0)的極值,我們可以把方程y=ax2+bx+c (a≠0)改寫為:ax2+bx+(cy)=0 (a≠0)顯然這是關(guān)于x的一元二次方程。則判別式: ?=b24a(cy)≥0,解出y得:4ay≥4acb2若a0,則y≤4acb24a; 若a0,則y≥4acb24a。了解了一元二次函數(shù)的極值的求法后,我們遇到的很多一元函數(shù)都可以利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為與一元二次函數(shù)有關(guān)問題來求解。例1 求函數(shù)fx=4sinxcos2x1的最值。當(dāng)sinx=1,f(x)min=4分析:本題我們把本屬于求三角函數(shù)的最值問題經(jīng)過恒等變形轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題,顯然變得一目了然了。x2+b39。的極值。將函數(shù)變形為:aya39。yx+cyc39。那么關(guān)于x的一元二次方程的判別式:?=byb39。ycyc39。從而求函數(shù)的極值。例3 求函數(shù)y=x24x22x3的極值。即y的值域?yàn)椤蓿?∞。如圖: 例4求函數(shù)y=x24x2+2x+3 的最值.解:=0 .若方程有實(shí)數(shù)解,則?=4y241y3y4=5y228y+16≥0,解得72695≤y≤7+.=mx+nax2+bx+c 的極值.首先,我們要注意此類函數(shù)的定義域,即ax2+bx+c≥0。則判別式:?=bn2+2my24an2m22y2≥0解出該不等式的解集就是函數(shù)的值域,就可以求出函數(shù)的極值了。解: 函數(shù)的定義域?yàn)椤蓿?U1,+∞.將y=x+x2+3x+2 移項后再平方得:3+2yx=y22這是關(guān)于x的一次方程,因此不能用判別式求解。所以y223+2y≤2,y223+2y≥1.解得y32,y∞,32∪32,+∞.分析:此題利用函數(shù)的定義域解出了函數(shù)的值域,從而知道了函數(shù)的最值。則關(guān)于x的一元二次方程(1)的判別式?=2y202128y2≥0解得:y≤3,y≥5172時,函數(shù)有最大值3;當(dāng)y5+172時,函數(shù)有最小值2.第三章 多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)可以說是一元函數(shù)的推廣,它和與一元函數(shù)有很多類似的地方,也保留了很多一元函數(shù)所具備的性質(zhì)。它解決了生活中的很多實(shí)際問題。這里我們先從二元函數(shù)開始,n元函數(shù)我們可以類似的推廣。 當(dāng)然變量x,y叫做自變量,而自變量x,y的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。二元函數(shù)(一般地說多元函數(shù))在給定區(qū)域上的最大值或最小值可以在該區(qū)域的某一內(nèi)點(diǎn)上達(dá)到,也可以在邊界點(diǎn)達(dá)到。只要h,k充分小,則我們稱函數(shù)z=fx,y在點(diǎn)a,b達(dá)到極大值(極小值)。這些都與一元函數(shù)有類似之處,那么多元函數(shù)的極值問題會不會也有相似之處呢?下面我們一起來看看如何來求函數(shù)的極值的?
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