【正文】 ：EUF概念的引入不僅使一些被傳統(tǒng)判據(jù)所排斥的效用函數(shù)成為名正言順的可用效用函數(shù)的家族成員，而且使一些原本不可用的函數(shù)變得可用。2. 預(yù)備知識(shí)在下面的正文及附錄中，我們將用到一些基本的概念和定理，盡管它們大部分屬于常識(shí)性的內(nèi)容，為了嚴(yán)格起見(jiàn)，我們還是將其不加證明地集中在本節(jié)。：如果定義在消費(fèi)集合上的一個(gè)偏好關(guān)系“?”滿足下列條件：(自反性)，(傳遞性)，(完備性)，并且對(duì)于任意的，集合 和相對(duì)于X是閉的(連續(xù)性)。說(shuō)明：本文假定X有下界，并且是閉的和凸的。和分別表示的非負(fù)及嚴(yán)格正相限。“p”和“m”分別表示價(jià)格夭量和消費(fèi)者個(gè)人收入。(b) 。如果對(duì)于任意一對(duì)（pp0并且m0），由“?”導(dǎo)出的需求集合內(nèi)只存在唯一的元素，則被稱為由“?”或u導(dǎo)出的一個(gè)單值需求函數(shù)。： 如果在的任意小的鄰域V內(nèi)總是可以找到一個(gè)優(yōu)于x的點(diǎn)，即存在滿足，則相應(yīng)的偏好次序被稱為在x是局部不滿足的。說(shuō)明：在上述定義中，表示，為指數(shù)集合，或分別代表x和y的第i個(gè)坐標(biāo)分量。：定義在X上的一個(gè)偏好次序“?”稱為是嚴(yán)格凸的，如果下式成立：。如果在的所有凸子集上嚴(yán)格準(zhǔn)凹（不一定是凸集），則稱在上是嚴(yán)格準(zhǔn)凹的。：我們稱定義在X上的一個(gè)連續(xù)的偏好次序“?”為一個(gè)新古典偏好，如果它滿足下列條件：(a) “?”在X上嚴(yán)格遞增并嚴(yán)格凸，否則(b) “?”在上嚴(yán)格遞增和嚴(yán)格凸并且滿足。同時(shí)在本文中.：代表新古典偏好的效用函數(shù)稱為新古典效用函數(shù)。說(shuō)明：CES和CobbDouglas效用函數(shù)是兩個(gè)典型的新古典效用函數(shù)，它們分別滿足上述（a）、（b）兩個(gè)條件。：的一個(gè)子集K是緊致的當(dāng)且僅當(dāng)它是閉的和有界的。：令“?”為一連續(xù)偏好，對(duì)于任意p?0和m0我們有：(a) ；(b) 如果“?”在X上任意點(diǎn)都是局部不滿足的，則（瓦爾拉斯定律）；(c) 如果“?”在X上是嚴(yán)格凸的，則包含唯一元素。：令為一非空開(kāi)集，為一連續(xù)可微的函數(shù)。說(shuō)明：下列符號(hào)在本文中通用：，以及。（拉哥朗日定理）：令和為定義在上的連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)，令為在約束下的一個(gè)極植點(diǎn)，則存在唯一的使得下式成立：。3. 飽和定律本節(jié)中，我們將重新引入有效區(qū)域的概念，并借此證明飽和定律：從一個(gè)具有局部不滿足性的偏好次序或效用函數(shù)導(dǎo)出的需求集合是其唯一有效區(qū)域的一個(gè)子集。如果他花錢購(gòu)買這些商品，則必然導(dǎo)致資源浪費(fèi)，從而不是一個(gè)理性的選擇。這意味著，消費(fèi)者在預(yù)算約束下的最優(yōu)選擇只能出現(xiàn)在消費(fèi)集合內(nèi)一個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)。所以說(shuō)，在某一預(yù)算約束下的消費(fèi)者的最優(yōu)選擇點(diǎn)的集合將是整個(gè)消費(fèi)集合的一個(gè)子集，換句話說(shuō)，需求函數(shù)的值域?qū)H僅是消費(fèi)集合的一個(gè)子集合，而非全部消費(fèi)集合。圖1：令為消費(fèi)集合內(nèi)任意一點(diǎn)。：如果至少于上的任意一點(diǎn)同樣好：，則我們稱z是上的一個(gè)相對(duì)滿意點(diǎn)，則是一個(gè)屬于的相對(duì)滿意需求。如果上不存在相對(duì)滿意點(diǎn)，則我們說(shuō)上的飽和需求點(diǎn)不存在或位于無(wú)窮遠(yuǎn)，即。：令“?”為一定義在X上的偏好次序，為的第i個(gè)坐標(biāo)子集合，為屬于的相對(duì)飽和需求。就是說(shuō)：。：對(duì)于任意的偏好次序，存在唯一的有效區(qū)域。證畢（飽和定律）：令“?”為一連續(xù)偏好次序，而且在X上任意點(diǎn)上局部不滿足。證明：附錄I：令“?”為一在其有效區(qū)域內(nèi)局部不滿足的的偏好次序，u為代表“?”的效用函數(shù)。則。證畢評(píng)論：，從一個(gè)局部不滿足偏好次序?qū)С龅男枨蠛瘮?shù)的值域是其有效區(qū)域的一個(gè)子集。在此情形下，所有商品都是不可滿足的。傳統(tǒng)消費(fèi)者理論因此而忽略了大量包含了可滿足性的情形。4. 有效效用函數(shù)及其判據(jù)有效區(qū)域的概念使我們可以構(gòu)建一個(gè)有效效用函數(shù)（EUF），該函數(shù)明確接納了對(duì)于某些物品存在飽和需求的可能性。一般而言，如果一個(gè)效用函數(shù)能夠?qū)С鲆粋€(gè)單值且滿足瓦爾拉斯定律的需求函數(shù)（我們稱之為良性需求函數(shù)），它就應(yīng)該是一個(gè)可用的效用函數(shù)。然而上述限定條件遠(yuǎn)非必要。飽和定律說(shuō)明，從一個(gè)局部不滿足偏好導(dǎo)出的需求函數(shù)的值域是其有效區(qū)域的一個(gè)子集。所以，需求函數(shù)將僅僅由導(dǎo)出此需求函數(shù)的效用函數(shù)在其有效區(qū)域內(nèi)部的特性所決定。這意味著一個(gè)良性需求函數(shù)有可能從一個(gè)在其有效區(qū)域外并非嚴(yán)格遞增或嚴(yán)格準(zhǔn)凹的效用函數(shù)導(dǎo)出。這是一個(gè)忽略了其有效區(qū)域外所有信息的可接受效用函數(shù)的一個(gè)通用形式。我們稱為一有效效用函數(shù)，如果它能夠?qū)С鲆粋€(gè)良性需求函數(shù)。不用說(shuō)E也是的有效區(qū)域。任意函數(shù)被稱為的一個(gè)原函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)成立。顯然，一個(gè)EUF的原函數(shù)的數(shù)量是無(wú)限的，因?yàn)樵贓外可以具有任何形式。比如，如果代表了偏好次序“?”，則對(duì)于這樣的點(diǎn)但，一定不成立。因此，EUF將不僅使那些本應(yīng)可接受但卻被傳統(tǒng)的NUF判據(jù)判定為不可用的那一部分效用函數(shù)變得名正言順，而且使某些正常情況下不能接受的函數(shù)變得有用。為了判定一個(gè)函數(shù)能否被用來(lái)構(gòu)造EUF，我們只需考慮其有效區(qū)域內(nèi)的特性。說(shuō)明：。顯然是單值的，并且它是滿足的位于最下端的函數(shù)。證明：隱函數(shù)定理（）的直接推論。如果滿足下列條件，則就是一個(gè)EUF：(1) 對(duì)于任意的，要么（a）在X上處處連續(xù)，或者（b）包含原點(diǎn)且在上處處連續(xù)，對(duì)于任意的（表示X的下邊界），與同時(shí)成立意味著屬于的相對(duì)飽和需求為0。(2) 上不存在臨界點(diǎn)：。(4) 在上嚴(yán)格準(zhǔn)凹（）。說(shuō)明：所有上述4個(gè)條件都可以被直觀地理解，不過(guò)其中一些條件，特別是第一個(gè)條件需要作進(jìn)一步的解釋。條件（3）和（4）的意義是明顯的。在條件1下，它也意味著有效區(qū)域是連通的和無(wú)界的（參閱第5節(jié)）。就是說(shuō)，第i個(gè)上邊界要么在整個(gè)消費(fèi)集上處處連續(xù)（CES函數(shù)是這類函數(shù)當(dāng)時(shí)的特例）；否則包含原點(diǎn)且在X的內(nèi)點(diǎn)上處處連續(xù)，而對(duì)于那些位于包含了第i坐標(biāo)軸（比如圖2中的軸）的下邊界內(nèi)的點(diǎn)中，只有一些第j坐標(biāo)軸（，比如圖2中的）上的點(diǎn)位于有效區(qū)域內(nèi)（Cobbdouglas函數(shù)是這類函數(shù)當(dāng)時(shí)的特例）。圖2繪出了該效用函數(shù)的一個(gè)等效用曲面，其中虛線表示不在有效區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。在上不存在，這是因?yàn)?。圖2從圖2可以看出，對(duì)于任意X下邊界內(nèi)的點(diǎn)，比如，如果和同時(shí)成立，則必定有。這將確保從導(dǎo)出的需求集合非空（參閱附錄II（2））。5. 兩個(gè)例子，尤其是在只存在兩種商品的情況下。嚴(yán)格地說(shuō)，如果我們要按照NUF或EUF的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷一個(gè)函數(shù)是否合適作為一個(gè)可接受的效用函數(shù)，我們首先要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)檢驗(yàn)其單調(diào)性和凹性。當(dāng)?shù)男问奖容^復(fù)雜時(shí)，這個(gè)過(guò)程也將變的異常艱巨。這樣我們就可以直接觀察到函數(shù)的單調(diào)性和凹性。在本節(jié)中，盡管代數(shù)證明完全是可能的，但出于簡(jiǎn)單直觀的考慮，我們將盡可能地借助圖形來(lái)說(shuō)明函數(shù)的特性。這類函數(shù)的無(wú)差異曲線具有在整個(gè)X上處處凸向原點(diǎn)的形狀，圖3左圖是這種形狀的經(jīng)典樣式。圖3右圖為（）式當(dāng)時(shí)的無(wú)差異