線性系統(tǒng)的根軌跡法-在線瀏覽
2025-07-01 02:12本頁面
【正文】 則有 nm條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。 1lim 0K K? ????11()1l i m l i m l i m ( ) 0()mj mj nmn ns s siiszssssp? ?? ? ? ? ? ???? ? ????nm個無限遠(yuǎn)零點(diǎn) 法則 2. 根軌跡 的分支數(shù)、對稱性和 連續(xù)性 根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點(diǎn) m和有限極點(diǎn) n中的大者相等，它們是連續(xù)的且對稱于實(shí)軸。 ?根軌跡連續(xù)：根軌跡增益是連續(xù)變化導(dǎo)致特征根也連續(xù)變化。 1z? ???3p4p2p 1p2z法則 3. 實(shí)軸上的根軌跡 如果實(shí)軸上某一區(qū)域的 右側(cè) 的實(shí)數(shù)開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)個數(shù)之和為 奇數(shù) ，則該區(qū)域?qū)嵼S必是根軌跡。 z z2的向量的相角之和 q 3+q4=0176。 p1的向量的相角為 180176。 s s3 ：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。 * ( 1 ) ( 2 )() ( 3 ) ( 4 )K K s sGs s s s??? ??解 ： 零極點(diǎn)分布如下： p1=0， p2=3， p3=4， z1=1， z2=2 實(shí)軸上根軌跡為： [1， 0]、 [3， 2]和 ( ∞ ， 4] jw s o o 法則 4. 根軌跡的漸近線 nm時： nm條根軌跡沿著 漸近線 趨向無窮遠(yuǎn)處。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角。 與實(shí)軸的交點(diǎn)： 11nmijijapznms ???????( 2 1 ) 60 , 18 0 , 30 0aknm?? ? ? ?????與實(shí)軸 的 夾角： 零極點(diǎn)分布和漸近線如圖所示： ????60?60??18001?2?5? ?15 23??? ? ?法則 5. 根軌跡的分離點(diǎn)與分離角 若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會合點(diǎn)。閉環(huán)特征方程有重根。 ： 1 2 3 10 2 3 1p p p z? ? ? ? ? ? ?， ， ，解： C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???90( 2 1 )2702ak ?? ????? ???： ( 0 2 3 ) ( 1 )231as ? ? ? ?? ? ??： [3,2] [1,0] ： 實(shí)軸區(qū)域 [2,3] 必有一個根軌跡的分離點(diǎn) d， d 滿足分離點(diǎn)方程： 1 1 1 11 2 3d d d d? ? ?? ? ?解得： 2 ??(2)極值法 *0dKds ?* ()()DsKNs? ? ?*2( ) ( ) ( ) ( ) 0()d K D s N s N s D sd s N s?? ?? ? ?1 ( ) 0KGs??( ) ( ) ( ) ( ) 0D s N s N s D s????(3)牛頓余數(shù)定理法 步驟： (1)求出 ； *dKds(2)設(shè) ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P s D s N s N s D s????(3)在其分離點(diǎn)可能出現(xiàn)的實(shí)軸坐標(biāo)附近找一試探點(diǎn) s1 ； *2( ) ( ) ( ) ( ) 0()d K D s N s N s D sd s N s?? ?? ? ?(4)用 (ss1)去除 P(s)，得到商 Q(s)、余數(shù) R1 ； (5)用 (ss1)去除 Q(s)，得到余數(shù) R2 ； (6)計(jì)算 s2 =s1R1/R2 ； (7)將 s2 作為新的試探點(diǎn)重復(fù)步驟 (4)~(6)。 32* 561s s sKs?????* 3 2 3 22( 5 6 ) ( 1 ) ( 5 6 ) ( 1 )( 1 )d K s s s s s s s sd s s??? ? ? ? ? ? ????解： 3222 8 1 0 6( 1 )s s ss? ? ????C ( s )R ( s )123* ()( ) ( )Kss s s???32( ) 2 8 1 0 6P s s s s? ? ? ? ?因 [ 3, 2]內(nèi)必有分離點(diǎn)，所以選 s1=。 ? ?1?5? 0?例 5. 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： *() ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ??試確定實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)。 *1 ( ) 1 0( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ? ? ???閉環(huán)特征方程為： * 3 2( 1 ) ( 5 ) ( 6 5 )K s s s s s s? ? ? ? ? ? ? ?*2( 3 1 2 5 ) 0dK ssds ? ? ? ? ???(舍去 ) (1)極值法 因 [ 1, 0]內(nèi)必有分離點(diǎn)，所以選 s1=。 2( ) 3 1 2 5P s s s? ? ? ? ?(2)牛頓余數(shù)定理法 *23 1 2 5dK ssds ? ? ? ?*() ( 1 ) ( 5 )K KGs s s s? ??法則 6. 根軌跡的起始角和終止角 ??ipq起始 (出射 )角 θpi ： 起始于 開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) 的根軌跡在起點(diǎn)處的切線與 正實(shí)軸 的夾角。 0 , 1 , 2 . . .i j i j imnp z p p pjjjikkq ? ? q???? ? ? ? ? ? ???終止 (入射 )角 ? zi： 終止于 開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn) 的根軌跡在終點(diǎn)處的切線與 正實(shí)軸 的夾角。 0 , 1 , 2 . . .i j i j imnz z z p zjjjikk? ? ? q???? ? ? ? ? ? ???例 ，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的 起始 角。 解： tan? 1=1 ? 1=45176。 θ3=135176。 取 k=0(考慮到周期性 )： θp1= 176。 * ( 1 . 5 ) ( 2 ) ( 2 )() ( 2 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 ) ( 0 . 5 1 . 5 )K K s s j s jGs s s s j s j? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?例 7[例 43].系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。 ： 無分離點(diǎn)。 90176。 37 176。 176。 121 176。 199 176。 117 176。則閉環(huán)特征方程至少有一對純虛根，這時的增益稱為 臨界根軌跡增益 。 解： 方法一 3 2 *6 5 0j j Kw w w? ? ? ? ?2*36050Kwww? ? ? ??? ?? ? ???*() ( 1 ) ( 5 )k KGs s s s? ??例 8. ，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 勞斯表： 3*2*10*15630060sKsKssK ? s2的輔助方程： 2 * 26 6 30 0s K s? ? ? ?
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