【正文】 測量值為 x1， x2， … ， xn，則 其算術(shù)平均值為 ?n1 2 n ii = 111x = ( x + x + . . . . . + x ) = xnn（ ） 由于 x的數(shù)學(xué)期望為 μ，故算術(shù)平均值就是真值 μ的無偏估計值。 — 貝塞爾公式 上述的標(biāo)準差是在 n→∞ 的條件下導(dǎo)出的，而實際測量只能做到 有限次。由于推導(dǎo)中不夠嚴密，故 )(xs被稱為 標(biāo) 準差的估值，也稱實驗標(biāo)準差。這說明有限次測量的 算術(shù)平均值還存在著誤差 。 已知算術(shù)平均值 x為 mii = 11=mxx? n m 1 2 ?? m 1 x11 x21 ?? xm1 2 x12 x22 ?? xm2 . . n x1n x2n ?? xmn 1()sx1x2()sx ()msx2x nxs( )s( ) =mxx在概率論中有“幾個相互獨立的隨機變量之和的方差等于各個 隨機變量方差之和”的定理，可進行下面推導(dǎo) 2 2 2 2 2 2i i 1 222i = 1 i = 11 1 1(x ) = ( x ) = ( x ) = [ ( x ) + ( x ) + . . . + ( x ) ]mmmm m m? ? ? ? ? ???2 2 2 212( ) ( ) ( ) ( )mx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?2 2 2211( ) ( ) ( )x m x xmm? ? ???()()xxm?? ?因 故有 所以 當(dāng) n為有限次時，用標(biāo)準差的估值即可，則 nxsxs)()( ?（ ） 結(jié)論 ：（ ）式說明，算術(shù)平均值的標(biāo)準差是任意一組 n次 測量樣本標(biāo)準差的 n分之一。這是由于隨機誤 差的抵償性，測量次數(shù)越多，抵消程度越大，平均值離散程度 越小，這是采用統(tǒng)計平均的方法減弱隨機誤差的理論依據(jù)。 意義 ：（ ）式給實際測量帶來了方便，人們只要測量一組 數(shù)據(jù)，求得標(biāo)準差，將其除以 ，則相當(dāng)于得到了多組數(shù)據(jù) n的算術(shù)平均值的標(biāo)準差。求測量值的平均值及標(biāo)準偏差。 臵信區(qū)間 ，即所選擇的這個范圍，一般用標(biāo)準差的倍數(shù)表示， )(xk?如177。 )(2 x?范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的可信度是百分之幾？ 條件：必須先知道測值的分布，才能討論臵信問題。 3σ區(qū)間內(nèi)，隨機誤差出現(xiàn)的概率為 %，而在這個區(qū)間外的概率非常小。英國人 科薩特 （ Gosset，但常以 “ student” 筆名發(fā)表文章）證明了這時服從 t分布，也稱“學(xué)生”氏分布 。但 t分布與標(biāo) 準差 σ無關(guān)，與測量次數(shù) n關(guān)系緊密，從圖 ，當(dāng) n＞ 20以后， t分布與正態(tài)分布就很接近了。 例 對某電感進行 12次等精度測量，測得的數(shù)值（單位 mH） 為 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，若要求 在 P=95%的 臵信概率下，該電感測值應(yīng)在多大臵信區(qū)間內(nèi)？ 解：第一步：求出 L 及 )(Ls電感的算術(shù)平均值 1211 2 0 . 4 9 312 iiL L m H????12211( ) ( ) 0 . 0 2 01 2 1 iis L L L m H?? ? ?? ?( ) 12s L m H??電感的標(biāo)準差估值 算術(shù)平均值標(biāo)準差估值 第二步： 查附錄 B： t分布表，由 n－ 1=11及 P=，查得 t= k (n1) P .098 1 10 11？ 第三步： 估計電感 L的臵信區(qū)間 )](),([ LtsLLtsL ?? ，其中 ( ) 2 . 2 0 0 . 0 0 6 0 . 0 1 3t s L m H? ? ?則在 95%的臵信概率下，電感 L的臵信區(qū)間為 [， ]。下面 介紹幾種常見的非正態(tài)分布曲線及臵信度問題。其特點是在誤差范圍內(nèi)， 誤差 出現(xiàn)的概率各處相同 。但有時候，如在科研或高精度測量中，往往在 不同的測量條件下，用不同的儀器，不同的測量方法，不同的 測量次數(shù)以及不同的測量者進行測量與對比，這種測量稱為非 （或不）等精度測量。 1.“權(quán)”的概念和確定方法 日常統(tǒng)計中也用“權(quán)”的概念，如按學(xué)分加權(quán)課程統(tǒng)計學(xué)生的 各科總平均成績，以顯示學(xué)分多的課程重要性。 解： 按測量次數(shù)來確定權(quán)： w1=3， w2=2， w3=5 ，取 x0=，則有 5230 0 1 0 1 0 2 ?????????x = mm 3. 加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準差 對同一被測量進行 m組非等精度測量，得到 m個測量結(jié)果， 各組測量結(jié)果的殘余誤差為 ixiv x x??經(jīng)推導(dǎo)可得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準差： （ ） ??????miimiixixwmw112)1(?? 粗大誤差 在一定條件下，測量值顯著偏離其實際值所對應(yīng)的誤差。 粗大誤差無規(guī)律可循，故必須當(dāng)作壞值予以剔除。在不明原因的情況下， 首先要判斷可疑數(shù)據(jù)是否是粗大誤差。 具體檢驗方法常見的有三種 ： 定義 處理 剔除法則 檢驗方法常見的有三種： 1 萊特檢驗法 （ n200） i?＞ 3s（ x） 2 格拉布斯檢驗法 （理論與實驗證明較好） 3 中位數(shù)檢驗法 x P(x) E(x) 0 3s 3s 中位數(shù) ≈ 平均值 大量統(tǒng)計表明，當(dāng)數(shù)據(jù)列中沒有粗大誤差時 99 99 99 100 100 100 101 101 1019 0 0 49 1 0 1 91 0 1 41 0 1 11 0 0 81 0 0 41 0 0 19 9 99 9 69 9 1 ??????????max?＞ Gs G查 p34表 中位數(shù) 例 GS GS 應(yīng)用舉例 例 對某溫度進行多次等精度測量，所得結(jié)果列于表 ， 試檢查數(shù)據(jù)中有無異常。?x)( ??xs3 ( ) 0 . 0 3 3 3 0 . 0 9 9 1sx ? ? ?3 ( ) 0 . 0 1 6 3 0 . 0 4 8sx ? ? ? ?℃ 故可判斷 x8是異常數(shù)據(jù)，應(yīng)予剔除。 （ 2） 格拉布斯檢驗法 （ 3） 中位數(shù)檢驗法 取臵信概率 Pc=，以 n=15查表 G= Gs= =＜ 8?，剔除 x8后重新計算判別， 得 n=14， pc= G值為 2． 66 GSˊ ＝ ＝ 余下數(shù)據(jù)中無異常值。這些檢驗法又都是以正態(tài)分布為前提的，當(dāng)偏離正態(tài)分布時，檢驗可靠性將受影響，特別是測量次數(shù)較少時更不可靠。否則，說明系統(tǒng)工作不正常。 (4)上述三種檢驗法中，萊特檢驗法是以正態(tài)分布為依據(jù)的，測值數(shù)據(jù)最好 n200，若 n10則會失效； 格拉布斯檢驗法理論嚴密，概率意義明確，實驗證明較好 ；中位數(shù)檢驗法簡捷方便，也能滿足一般實用要求。 實際上，測量過程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng) 誤差數(shù)值還比較大。 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因 系統(tǒng)誤差是 由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成 ， 這些誤差因素是可以掌握的。 測量時的實際溫度對標(biāo)準溫度的偏差、測量過程中溫度、濕度 等按一定規(guī)律變化的誤差。 由于測量者的個人特點，在刻度上估計讀數(shù)時，習(xí)慣偏于某一 方向；動態(tài)測量時，記錄某一信號有滯后的傾向。 恒定系差（恒差）常用的判斷方法有以下幾種 1)改變測量條件 測量條件指測量者、測量方法和環(huán)境條件等，在某一測量條件下有許多恒差 為一確定不變值，如改變測量條件，就會出現(xiàn)另一個確定的恒差，例如，對 儀表零點的調(diào)整 。（分壓比校準） 3)用高檔儀器比對、校準 用高檔儀器定期計量檢查，可以確定恒差是否存在，如電子秤校驗后，則知 其是偏大還是偏小。 4)統(tǒng)計法 （ 排除隨機誤差，剩下即系統(tǒng)恒差 ） 下面分析恒定系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。利用修正值 C=－ ε可以在進行平均前的每個測量值 xi 誤差 ε會反映在 x中扣除，也可以在得到算術(shù)平均值后扣除。 2. 變值系差的判定 常用的有以下兩種判據(jù)： 1)剩余誤差觀察法 （ a）剩余誤差大體上正負相間，且無顯著變化規(guī)律，可認為不存在系統(tǒng)誤差； （ b）剩余誤差有規(guī)律的遞增或遞減，且在測量開始與結(jié)束誤差符號相反，則 存在線性系統(tǒng)誤差； （ c）變值系統(tǒng)誤差剩余誤差符號有規(guī)律地由正變負，再由負變正，且循環(huán)交替 重復(fù)變化，則存在周期性系統(tǒng)誤差； （ d）則同時存在線性和周期性系統(tǒng)誤差。 Φv 0 n 圖 變值系差示意圖 (c) n Φv 0 n Φv 0 n Φv 0 (a) (b) (d) 2) 累進性系差的判別 — 馬利科夫判據(jù) 圖 (a)(b)表示了與測量條件成線性關(guān)系的累進性系統(tǒng)誤差，如由于蓄電 池端電壓的下降引起的電流下降。 馬利科夫判據(jù)是常用的判別有無累進性系差的方法。 0?D（ ） i?n?1?前一半 后一半 3)周期性系差的判別 —— 阿貝 — 赫梅特判據(jù) 周期性系差的典型例子是當(dāng)指針式儀表度盤安裝偏心時，會產(chǎn)生這種周期性 系差。 0176。 180176。 ξ 0 t (a) (b) 圖 周期性系差實例 以 鐘 表為例 阿貝 — 赫梅特判據(jù) 具體步驟是： ① 把測量數(shù)據(jù) I 項剩余誤差 i?按測量順序排列； ② 將 兩兩相乘，然后求其和的絕對值 i?????? ????11113221 . . . . . .niiinn ????????（ ） ③ 用貝塞爾公式求方差 ????niinxs12211)( ?④ 再與方差相比較，若 12111 ( )niiin s x????????（ ） 則可認為存在周期性系統(tǒng)誤差。 但是，若雖然存在變值系差， 而剩余誤差最大值處于允許范圍以內(nèi)，則測量數(shù)據(jù)可用。 1. 零示法 當(dāng)檢流計 G中 I=0 212RRREUUx ????待測 標(biāo)準 U Ux E x R1 R2 G 圖 零示法測電壓 G只要示零精度高 （臵換法） 直流電橋平衡條件 Rx G RS R3 R1 R2 E 圖 替代法測電阻 標(biāo)準可調(diào)可讀電阻 當(dāng) RXR2=R1R3 G=0 將 RSR2=R1R3 G=0 則 RX=RS 步驟： R3，使 G=0， R3不動； RS，使 G=0， RX=RS RS為標(biāo)準 電阻箱 可調(diào)可讀 3. 交換法 （對照法） ? ?1212xw w w?? 重復(fù)性測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理（ 重點內(nèi)容：是不確定度計算基礎(chǔ) ） 當(dāng)對某被測量進行重復(fù)性測量時，測量值中可能含有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和 粗大誤差，為了給出正確合理的結(jié)果，應(yīng)按下述基本步驟對測得的數(shù)據(jù)進行 處理。 例 對某電壓進行 16次等精度測量，測量數(shù)據(jù) xi中已記入修 正值，列于表 。 序號 測量值xi(V) 殘差 vi 殘差 vi’ 序號 測量值xi(V) 殘差 vi’ 殘差 vi 1 + 9 + + 2 10 3 + + 11 4 + 12 + + 5 + 13 6 14 7 + + 15 8 16 + + 解： (1)求出算術(shù)平均值 161?? ??iixx(2)計算 xxv ii ?? 列于表中 ,并驗證 01???niiv(3)計算標(biāo)準偏差估值 : 11612 ??? ??