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2025-06-20 18:31本頁(yè)面
【正文】 )xt (a ) 積分器 (b ) 加法器 (c ) 比例器 ? 例 線性時(shí)變系統(tǒng) y x B ( t ) ∫ A ( t ) C ( t ) D ( t ) u + + + + x 39。 圖 多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 ? 若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系 ,則必須根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)空間模型 ,畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。 ????????????????????????????????????????????????????????????????21222112112122211211212122211211212221121121uuddddxxccccyyuubbbbxxaaaaxx??雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立 ? 由機(jī)理出發(fā) ? 由微分方程出發(fā) ? 由傳遞函數(shù)出發(fā) ? 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā) 一、 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 ? 建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步 ,是控制理論和工程的基礎(chǔ) . ? 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲(chǔ)能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法 . ? 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機(jī)理建模 . ? 機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量 (電壓、電流、力和熱量等 )在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系 ,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系 ,如電感的電壓和電流滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系 . ? 建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理 /依據(jù)有 : ? 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系 ,電感和電容等儲(chǔ)能元件的電壓和電流之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系 . ? 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律 ,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系 . 對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) ,則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度 . ? 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲(chǔ)存 ,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系 . ? 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。力 F及阻尼器汽缸速度 v為兩種外作用，給定輸出量為質(zhì)量塊的位移 x及其速度 、加速度 。試求該雙輸入 三輸出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 。設(shè) ，三個(gè)輸出量為 ，可由微分方程導(dǎo)出下列動(dòng)態(tài)方程： 其向量 矩陣形式為 式中 機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī) ,其中 Ra和 La為電樞回路總電阻和總電感 ,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ,負(fù)載為摩擦系數(shù)為 f的阻尼摩擦 . 試列寫以電樞電壓 u(t)為輸入 ,軸的角位移 ?(t)為輸出的狀態(tài)空間模型 . + J , f f M L a i a R a u 圖 2 10 電樞控制的直流電動(dòng)機(jī)原理圖 ? 解 1. 設(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變 ,鐵心工作在非飽和區(qū) . 按照?qǐng)D所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng) ,可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程 其中 Ea和 M分別為如下電樞電勢(shì)和轉(zhuǎn)矩 Ea=Ced?/dt, M=CMia 其中 Ce和 Cm分別為電樞電勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù) (含恒定的磁通量 ) . a22dddddda a a aiu R i L EtM J ftt??? ? ???因此 ,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可記為 2. 選擇狀態(tài)變量 . 對(duì)于本例 ,若已知電樞電流 ia(t),角位移 ?(t)和其導(dǎo)數(shù) d?/dt在初始時(shí)刻 t0的值 ,以及電樞電壓 u,則上述微分方程組有唯一解 . 因此 ,可以選擇狀態(tài)變量如下 ????????????tftJiCtCtiLiRuameaaadddddddd22a???1 2 3d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )datx t i t x t t x tt??? ? ?3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程 ,則有如下狀態(tài)方程 1 1 3233 1 31aea a amRCx x x uL L LxxC fx x xJJ?????????? ???4. 建立輸出方程 y=x2 5. 經(jīng)整理 ,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型 xyuxx]010[00101000??????????????????????????????????amaeaaLJfJCLCLR?二 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 ? 描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù) ,通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 ? 這種變換過(guò)程的原則是 ,不管狀態(tài)變量如何選擇 ,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。n為系統(tǒng)的階次。 因此 ,選擇狀態(tài)變量為如下 相變量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n1)(t) 可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 ? 將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程 ,有如下狀態(tài)方程 12111.........nnn n nxxxxx a x a x bu????????? ? ? ? ? ??和輸出方程 y=x1 將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有 ? ?1 ` 2 10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 1 01 0 0 0n n na a a a b???? ???? ?????? ???????? ????? ? ? ??????x x uyx12[ . . . ] , [ ] [ ]nx x x u y?? ? ?x u y其 中 和 。 ? 通常將上述取輸出 y和 y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量 。 ? 該類矩陣稱為友矩陣 。 上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 b u? ? a1 … ? 1 a 22 … a n 1 an nx?u x n x n 1 x 2 x 1 y 例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”’+6y”+11y’+6y=2u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=2 因此 ,當(dāng)選擇輸出 y及其 1階與 2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí) , 可得狀態(tài)空間模型如下 0 1 0 00 0 1 06 1 1 6 2[ 1 0 0 ]? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??x x uyx? 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為 y(n)+a1y(n1)+…+ any=b0u(n)+…+ bnu 建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)
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