等比數(shù)列及前n項和-在線瀏覽
2025-06-17 04:33本頁面
【正文】 a n 和 S n . [ 審題視點 ] 列方程組求首項 a 1 和公差 d . 解 設(shè) { an} 的公比為 q ，由題設(shè)得????? a1q ＝ 6 ，6 a1＋ a1q2＝ 30 ， 解得????? a1＝ 3 ，q ＝ 2或????? a1＝ 2 ，q ＝ 3. 當(dāng) a1＝ 3 ， q ＝ 2 時， an＝ 3 ( 2n－ 1) ； 當(dāng) a1＝ 2 ， q ＝ 3 時， an＝ 2 a 4 ＝329，且公比 q ∈ ( 0,1) ． ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 若該數(shù)列前 n 項和 S n ＝ 21 ，求 n 的值． 解 ( 1) ∵ a3 a6＝329， 又 a1＋ a6＝ 11 ， 故 a1， a6看作方程 x2－ 11 x ＋329＝ 0 的兩根 ， 又 q ∈ ( 0,1) ∴ a1＝323， a6＝13， ∴ q5＝a6a1＝132， ∴ q ＝12， ∴ an＝323??????12n － 6. 考向二 等比數(shù)列的判定或證明 【例 2 】 ? (2022 a5， a25＝ a2 a n ＝ a p a1q13 a1q15＝ a41 ① ：a41 q6 ＝ q48＝ 8 ? q16＝ 2 ， 又 a41a42a43a44＝ a1q40 a1q42 q1 6 6＝ a41 q1 6 0＝ ( a41 ( q16)10 ＝ 1 a2 a4＝ 1 ， T4＝ a13 a15 p3＝ 1 a42 a44＝ T1 湖北 ) 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于 15 ，并且這三個數(shù)分別加上 2 、 5 、 13 后成為等比數(shù)列{ b n } 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 . ( 1) 求數(shù)列 { b n } 的通項公式； ( 2) 數(shù)列 { b n } 的前 n 項和為 S n ，求證：數(shù)列??????????S n ＋54是等比數(shù)列． 正確設(shè)等差數(shù)列的三個正數(shù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解出公差d ，從而求出數(shù)列 { b n } 的首項、公比；利用等比數(shù)列的定義可解決第 ( 2) 問． [ 解答示范 ] (1) 解 設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為 a － d ， a ，a ＋ d . 依題意，得 a － d ＋ a ＋ a ＋ d ＝ 15 ， 解得 a ＝ 5. (2 分 ) 所以 { bn} 中的 b3， b4， b5依次為 7 － d, 10,18 ＋ d . 依題意，有 (7 － d )( 18 ＋ d ) ＝ 100 ，解得 d ＝ 2 或 d ＝－ 13( 舍去 ) ． (4 分 ) 故 { bn} 的第 3 項為 5 ，公比為 2 ， 由 b3＝ b122， 解得 b 1 ＝54. 所以 { b n } 是以54為首項， 2 為公比的等比數(shù)列，其通項公式為 b n ＝54 2n － 3. (6 分 ) ( 2) 證明 數(shù)列 { bn} 的前 n 項和 Sn＝54? 1 － 2n?1 － 2＝ 5 2n － 2. 所以 S1＋54＝52，Sn ＋ 1＋54Sn＋54＝5 2n － 2 ＝ 2. 因此??????????Sn＋54是以52為首項，公比為 2 的等比數(shù)列． ( 12 分 ) 關(guān)于等差 ( 比 ) 數(shù)列的基本運算，其實質(zhì)就是解方程或方程組，需要認(rèn)真計算，靈活處理已知條件．容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面：一是計算出現(xiàn)失誤，特別是利用因式分解求解方程的根時，不注意對
法律信息相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1