【正文】 點 右側(cè)的開環(huán)零 、 極點的個數(shù)之和為奇數(shù) ， 則 該點 在實軸的根軌跡上 。 (實際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實數(shù) → 數(shù)學(xué)模型的系數(shù)是實數(shù) → 特征根不是實數(shù)就是共軛復(fù)數(shù) ) 結(jié)論： 根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線 ， 其分支數(shù)等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù) 。 (根軌跡描述特征根的變化規(guī)律 ) 根軌跡是連續(xù)的曲線 。 參數(shù)根軌跡 11:41 根軌跡起始于開環(huán)極點 (K*→ 0)， 終止于開環(huán)零點 (K*→∞) ；如果開環(huán)極點數(shù) n大于開環(huán)零點數(shù) m， 則有 nm條根軌跡終止于 s平面的無窮遠(yuǎn)處 ， 如果開環(huán)零點數(shù) m大于開環(huán)極點數(shù) n， 則有 mn條根軌跡起始于 s平面的無窮遠(yuǎn)處 。 討論： 2． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點數(shù)小于開環(huán)極點數(shù)時 ， 除有 m條根軌跡終止于開環(huán)零點 (稱為有限零點 )外 ， 還有 nm條根軌跡 終止于無窮遠(yuǎn)點 (稱為無限零點 )。 根軌跡起始于開環(huán)極點 ， 終止于開環(huán)零點 。 11:41 特征方程可寫為： nm *iji 1 j 1( 1 ) ( s ) K ( s ) 0pz??? ? ? ???* iiK = 0 s = p ( i = 1 , 2 , , n )?* jjK = s = z ( j = 1 , 2 , , m )? ?規(guī)律 一 根軌跡的起點和終點 nmij*i 1 j 11( 2 ) ( s ) ( s ) 0K pz??? ? ? ???根軌跡起始于開環(huán)極點。 講授技巧及注意事項 運(yùn)用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo) 、 圖形的輔助說明進(jìn)行分析 。11:41 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法 第二節(jié) 根軌跡的基本規(guī)律及繪制 11:41 項 目 內(nèi) 容 教 學(xué) 目 的 掌握根軌跡的八個規(guī)律 ， 并在此基礎(chǔ)上繪制根軌跡 （ 手工和 MATLAB） 教 學(xué) 重 點 根軌跡八個規(guī)律的內(nèi)容 。 教 學(xué) 難 點 八個規(guī)律的證明 ， 根軌跡的手工繪制 。 42 根軌跡的基本規(guī)律及繪制 11:41 一、根軌跡的基本規(guī)律 根軌跡的基本規(guī)律從以下 8個方面進(jìn)行討論： 根軌跡的起始點與終止點； 根軌跡的漸近線； 根軌跡的連續(xù)性 、 對稱性和分支數(shù)； 實軸上的根軌跡； 根軌跡在實軸上的分離點和分離角； 根軌跡的起始角和終止角 (復(fù)數(shù)零極點 )； 根軌跡與虛軸的交點； 根之和 。 根軌跡終止于開環(huán)零點。 11:41 1． 當(dāng) m=n時 ， 即開環(huán)零點數(shù)與極點數(shù)相同時 ， 根軌跡的起點與終點均為有限的值 。 3． 當(dāng) mn時 ， 即開環(huán)零點數(shù)大于開環(huán)極點數(shù)時 ， 除有 n條根軌跡起始于開環(huán)極點 (稱為有限極點 )外 ， 還有 mn條根軌跡 起始于無窮遠(yuǎn)點 (稱為無限極點 )。 結(jié)論： 11:41 規(guī)律二 根軌跡的連續(xù)性、對稱性和分支數(shù) 根軌跡的分支數(shù) (條數(shù) )等于系統(tǒng)特征方程的次數(shù)n。 (K*是連續(xù)變化的 ) 根軌跡總是對稱于實軸 。 11:41 規(guī)律三 實軸上的根軌跡 *1 2 3 41 2 3 4 5K ( s ) ( ) ( ) ( )G ( s ) H ( s )( s ) ( s ) ( s ) ( ) ( )z s z s z s zp p p s p s p? ? ? ??? ? ? ? ?設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 其中 p p p z z2為實極點和實零點 ， pp z z4為共軛復(fù)數(shù)零 、 極點 。 11:41 只有 s0點右側(cè)實軸上的開環(huán)極點和開環(huán)零點的個數(shù)之和為奇數(shù)時，才滿足相角條件。 11:41 規(guī)律四 漸近線 11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ? 當(dāng)開環(huán)極點數(shù) n大于開環(huán)零點數(shù) m時 ， 系統(tǒng)有 nm條根軌跡終止于 S平面的無窮遠(yuǎn)處 ， 反應(yīng) nm條根軌跡變化趨向的 直線 叫做根軌跡的漸近線 ， 因此 ， 漸近線也有 nm條 ， 且它們交于實軸上的一點 (對稱性 )。 11:41 111 1 1 1m m n nm m n ns b s b s b s a s a s a????? ? ? ? ? ? ? ???????????????11nns b s ???...........................111() na b s ???111() nma b s ????nms ?111() na b s ?????????????????1111nnnnmmmms a s a s as b s b s b????? ? ? ?? ? ? ?多項式除法 ?11:41 證明： ? ? ? ? 1*1()()mjjniiszG s H s Ksp???????1 1mjjbz????1 1niiap????*111111()mm mmnnnnK s b s b s bs a s a s a????? ? ? ??? ? ? ?*111111nnnnmmmmKs a s a s as b s b s b?????? ? ? ?? ? ? ?*111()n m n mKs a b s? ? ?? ? ? ?研究 s值很大時 根軌跡（近似直線）的表達(dá)方式（通過 列寫直線的方程 ）。① 得： ( ) t a naa? ? ? ???*11 ( 2 1 ) ( 2 1 )[ c o s s i n ]nmab kkj K jn m n m n m???? ?? ??? ? ? ?? ? ?11nmijijapznm? ???????? ?a 2 k 1 k 0 , 1 , 2 , , n m 1nm?? ?? ? ? ??點斜式 方程 11:41 ?j?0sas?a?a?11nmijijapznm? ???????? ?a2 k 1nmk 0, 1, 2, , n m 1?????? ? ?漸近線與實軸的交點： 漸近線與實軸正方向的夾角： 11:41 例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。 60 176。 300 a ? 176。 常見的根軌跡分離點位于實軸上 。 分離點也可能以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上 。 11:41 1111mnjijid z d p??????? 分離點的坐標(biāo) d是下列方程的解： 證明： 閉環(huán)特征方程有重根的條件為： 11( ) ( ) ( ) 0nmijijD s s p K s z???? ? ? ? ???11() ( ) ( ) 0nmijijd D s d s p K s zd s d s?????? ? ? ? ???????11( ) ( )nmjjijs p K s z???? ? ? ??? ①11( ) ( )nmijijdds p K s zd s d s???? ? ? ??? ②變換形式 ②247。 mj1 j1 0,