【正文】 最小。令 ω(k)和 μ(k)分別表示從灰度級(jí) 0到灰度級(jí) k的像素的出現(xiàn)概率和平均灰度，分別表示為 ???kiiNNk0)(????? kiiNNik0)(?(515) (516) 由此可見(jiàn)，所有像素的總概率為 ω(L1)=1，圖像的平均灰度為 μT=μ(L1)。若取 M為 2，即分割成 2類，則可用上述方法求出二值化的最佳閾值。 p參數(shù)法僅適用于事先已知目標(biāo)所占全圖像百分比的場(chǎng)合。但是，由于圖像噪聲等因素的影響，會(huì)使得圖像直方圖雙峰之間的波谷被填充或者雙峰相距很近。上面這兩種情況都使得本應(yīng)具有雙峰性質(zhì)的圖像基本上變成了單峰，難以檢測(cè)到雙峰之間的波谷。常用的兩種局部閾值方法有直方圖變換法和散射圖法。由微分算子的性質(zhì)可以推知，目標(biāo)與背景內(nèi)部像素的梯度小，而目標(biāo)與背景之間的邊界像素的梯度大。例如，可以作出僅具有低梯度值像素的直方圖，即對(duì)梯度大的像素賦予權(quán)值 0，而梯度小的像素賦予權(quán)值 1。也可賦予相反的權(quán)值，作出僅具有高梯度值的像素的直方圖，它的一個(gè)峰主要由邊界像素構(gòu)成，對(duì)應(yīng)峰的灰度級(jí)可作為分割閾值。利用 Otsu法由新直方圖求得新的最佳閾值為 132，圖 54(c)是新的分割結(jié)果。 圖 55(b)是對(duì)圖 55(a)作出的灰度和梯度散射圖的一部分，只取實(shí)際散射圖左下角 128 32大小的區(qū)域并放大 3 倍，其它部分均為黑色。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 55 圖像的灰度和梯度散射圖 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 由圖可見(jiàn)，散射圖中有兩個(gè)接近橫軸且沿橫軸相互分開的較大的亮色聚類，分別對(duì)應(yīng)目標(biāo)與背景的內(nèi)部像素。如果圖像中存在噪聲，則它們?cè)谏⑸鋱D中位于離橫軸較遠(yuǎn)的地方。 散射圖中，聚類的形狀與圖像像素的相關(guān)程度有關(guān)。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 動(dòng)態(tài)閾值 在許多情況下，由于光照不均勻等因素的影響，圖像背景的灰度值并不恒定，目標(biāo)與背景的對(duì)比度在圖像中也會(huì)有變化，圖像中還可能存在不同的陰影。解決方法之一就是使閾值隨圖像中的位置緩慢變化，可以將整幅圖像分解成一系列子圖像，對(duì)不同的子圖像使用不同的閾值進(jìn)行分割。子圖像之間可以部分重疊，也可以只相鄰。此時(shí)可選用前面介紹的全局閾值方法來(lái)確定各個(gè)子圖像的閾值。圖 (b)為用 Otsu法全局閾值化的結(jié)果，可見(jiàn)左上角的圓形目標(biāo)沒(méi)有被檢測(cè)出來(lái)。對(duì)每幅子圖像單獨(dú)使用 Otsu閾值法進(jìn)行分割，分割結(jié)果如圖 (d)所示。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 56 自適應(yīng)閾值分割 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 下面簡(jiǎn)要介紹一種動(dòng)態(tài)閾值方法，其基本步驟如下： (1) 將整幅圖像分解成一系列相互之間有 50%重疊的子圖像。如果是 , 則采用最優(yōu)閾值法確定該子圖像 的閾值，否則不進(jìn)行處理。 (4) 根據(jù)各子圖像的閾值插值得到所有像素的閾值。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 基于區(qū)域的分割 區(qū)域生長(zhǎng) 區(qū)域生長(zhǎng)的基本思想是把具有相似性質(zhì)的像素集合起來(lái)構(gòu)成區(qū)域。將這些新像素當(dāng)作新的種子像素繼續(xù)上面的過(guò)程，直到?jīng)]有可接受的鄰域像素時(shí)停止生長(zhǎng)。圖 57(a)為待分割的圖像，已知有 1個(gè)種子像素 (標(biāo)有下劃線 )，相似性準(zhǔn)則是鄰近像素與種子像素的灰度值差小于 3。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 57 區(qū)域生長(zhǎng)示例 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 區(qū)域生長(zhǎng)法需要選擇一組能正確代表所需區(qū)域的種子像素，確定在生長(zhǎng)過(guò)程中的相似性準(zhǔn)則，制定讓生長(zhǎng)停止的條件或準(zhǔn)則。選取的種子像素可以是單個(gè)像素，也可以是包含若干個(gè)像素的小區(qū)域。如果計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)聚類，則接近聚類中心的像素可取為種子像素。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 區(qū)域分裂與合并 上面介紹的區(qū)域生長(zhǎng)法需要根據(jù)先驗(yàn)知識(shí)選取種子像素。區(qū)域分裂與合并的核心思想是將圖像分成若干個(gè)子區(qū)域，對(duì)于任意一個(gè)子區(qū)域，如果不滿足某種一致性準(zhǔn)則 (一般用灰度均值和方差來(lái)度量 )，則將其繼續(xù)分裂成若干個(gè)子區(qū)域，否則該子區(qū)域不再分裂。直到?jīng)]有可以分裂和合并的子區(qū)域?yàn)橹埂? 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 58 區(qū)域分裂與合并的四叉樹表示 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 下面以一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明區(qū)域分裂與合并的過(guò)程。合并時(shí)的相似性準(zhǔn)則為： 若相鄰兩個(gè)子區(qū)域的灰度均值之差不大于 ，則合并為一個(gè)區(qū)域。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 59 區(qū)域分裂與合并示例 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 首先計(jì)算出全圖的灰度均方差為 σR=，不滿足一致性準(zhǔn)則，需分裂為四個(gè)子區(qū)域。 μR2=, σR2=； μR3=。 μR4=。 根據(jù)一致性準(zhǔn)則判斷出 R2和 R3不需分裂，而 R1和 R4需要繼續(xù)分裂，剛好分裂為單個(gè)像素，如圖 (b)所示。最后合并具有相似性、不同節(jié)點(diǎn)下的相鄰區(qū)域， R1 R41和 R2合并在一起， GG2和 R3合并在一起，如圖 (d)所示。通過(guò)計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)可以方便地檢測(cè)出圖像中每個(gè)像素在其鄰域內(nèi)的灰度變化，從而檢測(cè)出邊緣。常見(jiàn)的邊緣類型有階躍型、斜坡型、線狀型和屋頂型，如圖 510所示 (第一行為具有邊緣的圖像，第二行為其灰度表面圖 )。斜坡型邊緣的坡度與被模糊的程度成反比，模糊程度高的邊緣往往表現(xiàn)為厚邊緣。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 510 圖像中不同類型的邊緣 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 微分算子 圖 511給出了幾種典型的邊緣及其相應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。因此，通過(guò)檢測(cè)一階導(dǎo)數(shù)的極大值，可以確定斜坡型邊緣 。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 對(duì)于線狀型邊緣，在邊緣的起點(diǎn)與終點(diǎn)處，其一階導(dǎo)數(shù)都有一個(gè)階躍，分別對(duì)應(yīng)極大值和極小值； 在邊緣的起點(diǎn)與終點(diǎn)處，其二階導(dǎo)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)向上的脈沖，在邊緣中心對(duì)應(yīng)一個(gè)向下的脈沖，在邊緣中心兩側(cè)存在兩個(gè)過(guò)零點(diǎn)。屋頂型邊緣的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)與線狀型類似，通過(guò)檢測(cè)其一階導(dǎo)數(shù)的過(guò)零點(diǎn)可以確定屋頂?shù)奈恢?。另外，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)對(duì)噪聲非常敏感，尤其是二階導(dǎo)數(shù)。在數(shù)字圖像處理中，常利用差分近似微分來(lái)求取導(dǎo)數(shù)。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 1. 梯度算子 常用的梯度算子如表 43所示 (星號(hào)代表模板中心 )。在計(jì)算梯度幅度時(shí)，可使用式 (425)或式 (426)，在適當(dāng)?shù)拈撝迪?，?duì)得到梯度圖像二值化即可檢測(cè)出有意義的邊緣。當(dāng)把最大響應(yīng)的模板的序號(hào)輸出時(shí)，就構(gòu)成了邊緣方向的編碼。 Prewitt和 Sobel算子在兩個(gè)對(duì)角方向上的模板如圖 512所示。圖 513(c)為用 Sobel垂直模板 (表 43中的 H2模板 )對(duì)圖 513(a)進(jìn)行卷積運(yùn)算得到的垂直梯度圖，它對(duì)水平邊緣有較強(qiáng)的響應(yīng)。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 513 Sobel算子邊緣檢測(cè) 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 2. 高斯 拉普拉斯 (LOG)算子 拉普拉斯算子由式 (431)定義，常用的兩個(gè)拉普拉斯模板見(jiàn)圖 416(a)和 (b)。然而，拉普拉斯算子一般不直接用于邊緣檢測(cè)，因?yàn)樗鳛橐环N二階微分算子對(duì)噪聲相當(dāng)敏感，常產(chǎn)生雙邊緣，且不能檢測(cè)邊緣方向。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 高斯 拉普拉斯 (LOG)算子把高斯平滑濾波器和拉普拉斯銳化濾波器結(jié)合起來(lái)實(shí)現(xiàn)邊緣檢測(cè)，即先通過(guò)高斯平滑抑制噪聲，以減輕噪聲對(duì)拉普拉斯算子的影響，再進(jìn)行拉普拉斯運(yùn)算，通過(guò)檢測(cè)其過(guò)零點(diǎn)來(lái)確定邊緣位置。二維高斯平滑函數(shù)表示如下： ???????? ???? 2222ex p),(?yxyxh(522) 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 其中， σ是高斯分布的均方差，圖像被模糊的程度與其成正比。給定均方差 σ后，對(duì)其離散化就可以得到相應(yīng)的 LOG算子模板，圖 514(b)是常用的 5 5模板之一 (模板并不唯一 )。由于 LOG算子模板一般比較大，因而用第二種方法可以提高速度。由圖可以看出，前兩種算子的檢測(cè)結(jié)果基本相同，而 LOG算子則能提取對(duì)比度弱的邊緣 (如后面的高樓 )，邊緣定位精度高。Canny算子首先對(duì)灰度圖像用均方差為 σ的高斯濾波器進(jìn)行平滑，然后對(duì)平滑后圖像的每個(gè)像素計(jì)算梯度幅值和梯度方向。該方法也可以結(jié)合其它邊緣檢測(cè)算子來(lái)細(xì)化邊緣。Canny算子使用兩個(gè)幅值閾值，高閾值用于檢測(cè)梯度幅值大的強(qiáng)邊緣，低閾值用于檢測(cè)梯度幅值較小的弱邊緣。邊緣細(xì)化后，就開始跟蹤具有高幅值的輪廓。圖 516是 Canny算子與 Robert算子和 Sobel算子對(duì)大米圖像的邊緣檢測(cè)效果對(duì)比，可見(jiàn) Canny算子檢測(cè)的邊緣比較完整。為此，需要將檢測(cè)出的邊緣像素按照某種準(zhǔn)則連接起來(lái)，常用的一種方法是根據(jù)鄰近的邊緣像素在梯度幅度和梯度方向上具有一定相似性而將它們連接起來(lái)，設(shè) T是幅度閾值， A是角度閾值，若像素 (p， q)在像素 (x， y)的鄰域內(nèi)，且它們的梯度幅度和梯度方向分別滿足以下兩個(gè)條件： 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) Ttsfqpf ???? ),(),(Atsqp ?? ),(),( ??(524) (525) 式中： (x， y)點(diǎn)處的梯度方向定義見(jiàn)式 (426)。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 哈夫變換 在已知區(qū)域形狀的條件下，利用哈夫變換 (Hough Transform)可以方便地檢測(cè)到邊界曲線。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 1. 直線檢測(cè) 在圖像空間 xy里，過(guò)點(diǎn) (xi， yi)的直線方程可表示為yi=axi+b，其中 a和 b分別表示直線的斜率和截距。對(duì)于圖像空間中與 (xi， yi)共線的另一點(diǎn) (xj， yj)，它滿足方程yj=axj+b，對(duì)應(yīng)于參數(shù)空間中斜率為 xj、截距為 yj的一條直線，也必然經(jīng)過(guò)點(diǎn) (a， b)。哈夫變換就是利用這種點(diǎn) — 線對(duì)應(yīng)關(guān)系，把圖像空間中的檢測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換到參數(shù)空間中處理。對(duì)于直線，它有 a和b兩個(gè)未知參數(shù)，因而需要一個(gè)二維累加數(shù)組。如果將參數(shù) a和 b分別量化為 m和 n個(gè)數(shù)，則定義一個(gè)累加數(shù)組A(m， n) 并初始化為零。對(duì)于圖像空間中的每個(gè)目標(biāo)點(diǎn) (xk，yk)，讓 a取遍所有可能的值，根據(jù) b =xka+yk計(jì)算出相應(yīng)的 b，并將結(jié)果取為最接近的可能取值。處理完所有像素后，根據(jù) A(p， q)的值便可知道斜率為 ap、截距為 bq的直線上有多少個(gè)點(diǎn)。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 如果需要檢測(cè)的直線接近豎直方向，則會(huì)由于斜率和截距的取值趨于無(wú)窮而需要很大的累加數(shù)組，導(dǎo)致計(jì)算量增大。對(duì) ρ和 θ量化后建立一個(gè)累加數(shù)組 (見(jiàn)圖 517(b))，其優(yōu)勢(shì)在于取值都是有限的。計(jì)算方法與前面的相似。如果該點(diǎn)的梯度幅值小于某個(gè)閾值，即屬于邊緣點(diǎn)的可能性很小，則不計(jì)算該點(diǎn)的參數(shù)，否則將梯度方向角代入式 (526)得出 ρ。 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 圖 517 直線的極坐標(biāo)表示及其對(duì)應(yīng)的累加數(shù)組 第 5章 圖像分割與邊緣檢測(cè) 2. 圓的檢測(cè) 圓的直角坐標(biāo)系方程為 (xa)2+(yb)2=r2 (527) 由此可見(jiàn)， 方程中有 3個(gè)未知參數(shù)： 圓心坐標(biāo) a和 b， 半徑 r。但計(jì)算量非常大。 因此， 只要知道了半徑和圓周上一點(diǎn)的梯度方向， 便可確定出圓心位置。 有了某點(diǎn)的梯度方向之后，可讓 r取遍所有值， 由式 (529)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的圓心坐標(biāo)。 任意曲線的檢測(cè)過(guò)程如下： (1) 根據(jù)參數(shù)個(gè)數(shù)建立并初始化累加數(shù)組 A［ a］為 0。對(duì)于每個(gè)邊緣點(diǎn) x， 確定 a，使得 f(x， a) =0， 并累加對(duì)應(yīng)的數(shù)組元素： A［ a］ = A［ a］ +1。 對(duì) A中某元素對(duì)應(yīng)的所有點(diǎn)的連通性進(jìn)行判斷， 可以將對(duì)應(yīng)的線段連接起來(lái)。 哈夫變換能夠抽取明顯的斷線或虛線特征，如一排石子或者一條被下落樹枝分割的道路等。 如果圖像中有多個(gè)目標(biāo)區(qū)域， 并且希望分析各個(gè)目標(biāo)的大小、 形狀等特征時(shí)， 就需要對(duì)目標(biāo)區(qū)域加以區(qū)分。 常用的區(qū)域標(biāo)記方法有兩種： 遞歸標(biāo)記和序貫標(biāo)記。 (2) 遞歸分配同一標(biāo)記給 P點(diǎn)的鄰域目標(biāo)像素。 (4) 重復(fù)步驟 (1)、 (2)和 (3)， 尋找未標(biāo)記的目標(biāo)點(diǎn)并遞歸分配同一標(biāo)記給其鄰域目標(biāo)點(diǎn)； 若找不到未標(biāo)記的目標(biāo)點(diǎn)， 則圖