簡正振動(dòng)聲子楊ppt課件-在線瀏覽
2025-06-16 02:43本頁面
【正文】 分立 的獨(dú)立格波模式，可用 獨(dú)立簡諧振子 來表述。 第 16 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 一、簡諧近似和簡正坐標(biāo) 數(shù)學(xué)處理： 通過引入簡正坐標(biāo)，將晶格振動(dòng)總能量（哈密頓量） =動(dòng)能 + 勢能（化成） =獨(dú)立簡諧振子能量之和 從經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，晶格振動(dòng)是一個(gè)典型的小振動(dòng)問題，凡是力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移時(shí)，該力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)都是小振動(dòng)。 處理小振動(dòng)問題的理論方法和主要結(jié)果 －－做為晶格振動(dòng)這部分內(nèi)容的理論基礎(chǔ)。0 21 在第二章我們已經(jīng)討論過，當(dāng)原子處于平衡位置時(shí)，原子間的相互作用勢能 ),( 321 NuuuUU ??取最小值。 N個(gè)原子的位移矢量共有 3N個(gè)分量，寫成 原子相互作用勢能是這些位移分量的函數(shù)，即 ( 1 , 2 , 3 )iu i N?第 18 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 將 ,?????????????????????????? ????NjijijiNiiiuuuu UuuUUU31 0231 00 21在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù) ),( 321 NuuuUU ??因在平衡位置勢能取極小值，所以上式右端第二項(xiàng)為零，若取 U0為能量零點(diǎn)，并略去二次以上的高次項(xiàng)，得到 23,1 012Nijij ijUU u uuu????????????上式即為簡諧近似下，勢能的表示式，包含了位移交叉項(xiàng)。 對于一個(gè)具體的物理問題是否可以采用簡諧近似，要看在簡諧近似條件下得到的理論結(jié)果是否與實(shí)驗(yàn)相一致。 第 20 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) ??? Ni iiumT 31221 ?為了消去勢能中的交叉項(xiàng)，使問題簡化，引入簡正坐標(biāo) N個(gè)原子體系的動(dòng)能函數(shù)為 NQ 3,2,1 ,?簡正坐標(biāo)與原子的位移坐標(biāo)之間的正交變換關(guān)系： ??? Nj jijiiQaum 31在簡正坐標(biāo)中，勢能和動(dòng)能化成 332 2 21111 ,22NNi i iiiU Q T Q???????第 21 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 由上式可得出 正則動(dòng)量 iii LP ?? ????振動(dòng)系統(tǒng)的 拉格朗日函數(shù) 為： 23123122121iNi iNi iUTL ???????? ??于是系統(tǒng)的 哈密頓函數(shù) 化成 ? ??????? Ni iiiQpUTH 3122221 ?將上式代入 正則方程 iii QqQHPi )(2????????第 22 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) Ni iii 32102 , ??? ??? ?得到 這是 3N個(gè)相互無關(guān)的 諧振子的運(yùn)動(dòng)方程 ，表明各簡正坐標(biāo)描述獨(dú)立的簡正振動(dòng)。 其中，任意簡正坐標(biāo)的解為 i?：振動(dòng)的圓頻率 第 23 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 原子的位移坐標(biāo)和簡正坐標(biāo)間存在著正交變換關(guān)系： ??? Nj jijiiQaum 31上式表明，每一個(gè)原子都以相同的頻率作振動(dòng)。 第 24 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 二、一維簡單晶格 說明二個(gè)問題： （ 1）簡正坐標(biāo)的引入 前面根據(jù)牛頓定理得到的原子運(yùn)動(dòng)方程的試解為 晶格振動(dòng)等價(jià)于 N個(gè)諧振子的振動(dòng)，諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格的振動(dòng)頻率； 根據(jù)牛頓定理用直接解運(yùn)動(dòng)方程的方法，求鏈的振動(dòng)模，與根據(jù)分析力學(xué)原理，引入簡正坐標(biāo)是等效的。 ??? Nj jijiiQaum 31比較，得 第 28 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 為了證明這一點(diǎn)，需要利用以下兩個(gè)關(guān)系式： ????????????39。10)(*1)()(qqNnqqi n aeNqQqQ?第二個(gè)關(guān)系式 ， 實(shí)際就是線性變換系數(shù)的正交條件 第一個(gè)關(guān)系式 可以從原子位移為實(shí)數(shù)的條件得到 ，因?yàn)? i n a qqn eqQNmu ?? )(1第 29 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) i n a qqn eqQNmu??? ?? )(1也可以寫成 因?yàn)樵游灰?un為實(shí)數(shù)，所以 *nn uu ?比較上面兩式，可得 )()( * qQqQ ??把上式兩端取共軛 i n a qqn eqQNmu??? )(** 1i n a qqn eqQNmu ?? )(1第 30 頁 第三章 晶體振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 第二個(gè)關(guān)系式 ，線性變換系
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