高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題型歸納-在線瀏覽
2025-06-04 13:06本頁面
【正文】 則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，（1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間[0,3]上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于 解法二：分離變量法：∵ 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), 恒成立等價(jià)于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則(2)∵當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價(jià)于當(dāng)時(shí) 恒成立 解法三：變更主元法 再等價(jià)于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題）22 例2：設(shè)函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對(duì)任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（Ⅰ） 3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+） ∴當(dāng)x=a時(shí)，極小值= 當(dāng)x=3a時(shí)，極大值=b. （Ⅱ）由||≤a，得：對(duì)任意的恒成立①則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù) 的對(duì)稱軸 （放縮法）即定義域在對(duì)稱軸的右邊，這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又 ∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù)．（Ⅰ）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（Ⅱ）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．解：. （Ⅰ）∵ 是偶函數(shù)，∴ . 此時(shí)， 令，解得：. 列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－
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