【正文】 三、不等式證明作差證明不等式34. （2010湖南，最值、作差構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求證：≤≤x．解：(1)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?－1，+∞),，由 得：，∴x＞0,∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，+∞).(2)證明：由(1)得x∈(－1，0)時(shí)，當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，且∴x＞－1時(shí)，f (x)≤f (0)，∴≤0，≤x 令，則，∴－1＜x＜0時(shí)，x＞0時(shí)，且∴x＞－1時(shí)，g (x)≥g (0)，即≥0 ∴≥，∴x＞－1時(shí)，≤≤x．35. （2007湖北20，轉(zhuǎn)換變量，作差構(gòu)造函數(shù)，較容易）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．⑴用表示，并求的最大值；⑵求證：當(dāng)時(shí)，．解：⑴設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．⑵設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，． 36. （2009全國(guó)II理21，字母替換，構(gòu)造函數(shù)）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且⑴求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；⑵證明：.解: ⑴ 令，其對(duì)稱軸為。 所以， 故． 變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式37. （變形構(gòu)造新函數(shù)，一次）已知函數(shù)．⑴試討論在定義域內(nèi)的單調(diào)性；⑵當(dāng)＜－1時(shí)，證明：，．求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)≤≤0時(shí)，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為．⑵當(dāng)＞0時(shí)，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，∴等價(jià)于，即．構(gòu)造，則＞0．∴在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，即．又當(dāng)＞0時(shí)，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，∴．∴，即．38. （2011遼寧理21，變形構(gòu)造函數(shù)，二次）已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵設(shè)，如果對(duì)任意，≥，求的取值范圍.解：⑴的定義域?yàn)椋?，+∞）. .當(dāng)時(shí)，＞0，故在（0，+∞）單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，＜0，故在（0，+∞）單調(diào)減少；當(dāng)－1＜＜0時(shí)，令=0，解得.則當(dāng)時(shí)，＞0；時(shí)，＜0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè)，而＜－1，由⑴知在（0，+∞）單調(diào)減少，從而 ，等價(jià)于，…… ①令，則①等價(jià)于在（0，+∞）單調(diào)減少，即.從而,設(shè)并設(shè)，∴，∴≤故a的取值范圍為（－∞，－2].39. （2010遼寧文21，構(gòu)造變形，二次）已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性； K^S*⑵設(shè)，證明：對(duì)任意，.解：⑴ f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時(shí), ＞0；x∈(，+)時(shí)，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè)x1≥≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于≥4x1－4x2,即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.設(shè)，≤－1，對(duì)稱軸為，結(jié)合圖象知≤≤0，于是≤＝≤0.從而g(x)在（0,+）單調(diào)減少，故g(x1) ≤g(x2)，即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2∈(0,+) ，40. （遼寧，變形構(gòu)造，二次）已知函數(shù)f(x)=x2－ax+(a－1)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對(duì)任意x,x，xx，有.解：(1)的定義域?yàn)?①若即,則，故在單調(diào)增加。當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。42. （變形構(gòu)造）已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)”（、），(I)證明：只要，無(wú)論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記直線的斜率為， (i)求證：；(ii)對(duì)于“偽二次函數(shù)”，是否有①同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論. 解：（I）如果為增函數(shù),則(1)恒成立, 當(dāng)時(shí)恒成立, (2) 由二次函數(shù)的性質(zhì), (2). 3分（II）（i） =. 由, 則5分（ii）不妨設(shè),對(duì)于“偽二次函數(shù)”: =, (3) 7分由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質(zhì)，則 , (4) 比較(3)( 4)兩式得，即：，(4) 10分不妨令， (5)設(shè)，則， ∴在上遞增， ∴. ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,. ∴“偽二次函數(shù)”不具有(ⅰ)的性質(zhì). 12分43. (變形構(gòu)造，第2問(wèn)用到均值不等式)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.⑴設(shè)兩曲線y＝f(x)，y＝g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；⑵設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，證明：若a≥－1，則h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增；⑶設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)，求證：對(duì)任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8.解：⑴設(shè)f(x)與g(x)交于點(diǎn)P(x0，y0)，則有f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①又由題意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.②由②解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．將x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s(a)＝a2－3a2lna，則s′(a)＝2a(1－3lna)，a∈(0,)時(shí)，s(a)遞增，a∈(,＋∞)時(shí)，s(a)遞減，所以s(a)≤s()＝，即b≤，b的最大值為.⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8，因?yàn)閍≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．⑶由⑵知x1＜x2時(shí)，h(x1)＜h(x2)，即F(x1)－8x1＜F(x2)－8x2.因?yàn)閤1＜x2，所以＞8.44. 已知函數(shù)，a為正常數(shù)．⑴若，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵在⑴中當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，試證明：．⑶若，且對(duì)任意的，都有，求a的取值范圍．解：⑴∵a，令得或,∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.⑵證明：當(dāng)時(shí)∴, ∴,又不妨設(shè) ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又∵，∴ 即比較與的大?。? 令,則,∴在上位增函數(shù)．又，∴， ∴，即⑶∵ ，∴ 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù)． 當(dāng)， ∴ 由在恒成立．設(shè)，則∴在上為增函數(shù)，∴. 當(dāng)，∴ 由在恒成立設(shè)，為增函數(shù),∴綜上：a的取值范圍為.45. 已知函數(shù)（）． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”．試問(wèn)：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（Ⅰ）易知函數(shù)的定義域是， ．…………1分 ①當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或。 令,解得．……………4分 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述，⑴當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；⑵當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑶當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．……………5分（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”． 設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且， 則 ……………7分 曲線在點(diǎn)處的切線斜率，……………8分依題意得：．化簡(jiǎn)可得： ，即=． ……………10分 設(shè) （），上式化為：, 即． ………12分 令,． 因?yàn)?顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立． 所以在內(nèi)不存在,使得成立． 綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”．……………14分46. 已知函數(shù).（1）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若，求證解：（1）,，即在上恒成立設(shè),，時(shí)，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時(shí)，有最大值.，所以.（2）當(dāng)時(shí)，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因?yàn)?，所以?同理.所以又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取等號(hào).又，,所以,所以，所以：.47. 已知．(1) 求函數(shù)在上的最小值；(2) 對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3) 證明: 對(duì)一切，都有成立．解： (1) ，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增．① ，t無(wú)解；② ，即時(shí)，；③ ，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，；所以． (2)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，恒成立，所以；（3） 問(wèn)題等價(jià)于證明，由⑴可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立．48. （2011陜西21，變形構(gòu)造，反比例）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對(duì)任意成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，∴；，∴，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，故是函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，故是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，所以的最小值是．（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在內(nèi)遞減，當(dāng)時(shí)，=0，∴；當(dāng)時(shí)，=0，∴． （3）滿足條件的不存在．證明如下：證法一 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，即對(duì)任意有 ①但對(duì)上述的，取時(shí)，有，這與①左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對(duì)任意成立．證法二 假設(shè)存在，使對(duì)任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時(shí)，的值域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，從而可以取一個(gè)值，使，即,∴，這與假設(shè)矛盾．∴不存在，使對(duì)任意成立．49. 已知函數(shù)，（Ⅰ）求的極值（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍（Ⅲ）已知，且，求證解：（1）∵，令得 ，為增函數(shù)，為減函數(shù)∴有極大值 ……………………4分（2）欲使＜在上恒成立， 只需 在上恒成立設(shè)，為增函數(shù),，為減函數(shù)∴時(shí)，是最大值 只需，即………8分 （3）∵由（2）可知在上單調(diào)增， ，那，同理相加得 ，∴， 得： .50. 已知函數(shù)的圖象為曲線, 函數(shù)的圖象為直線.(Ⅰ) 當(dāng)時(shí), 求的最大值。 ，在單調(diào)遞增。替換構(gòu)造不等式證明不等式52. （第3問(wèn)用第2問(wèn)）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。 （III）當(dāng)時(shí)，求證：解：（I）的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），的方程為又與函數(shù)的圖象相切，有一解。，取最大值，其最大值為2。⑴，則有，解得.⑵由⑴知，令， 則 ，①當(dāng) ， 若 ，則，是減函數(shù)，所以 ，故在上恒不成立。 綜上所述，所求的取值范圍為⑶由⑵知：當(dāng)時(shí)，有.令，有當(dāng)時(shí)，令，有 即 ，將上述個(gè)不等式依次相加得,整理得.57. 已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求a，b滿足的關(guān)系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （n∈N*）解：（Ⅰ），根據(jù)題意，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令， 則，= ①當(dāng)時(shí)， ， 若，則，在減函數(shù)，所以，即在上恒不成立． ②時(shí)，當(dāng)時(shí)，在增函數(shù)，又，所以．綜上所述，所求的取值范圍是.（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立．取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，…，n，然后n個(gè)不等式相加得58. 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的極值點(diǎn)。（3）證明：.解：(1)的定義域?yàn)椋?，+∞），.當(dāng)時(shí)，則在（1，+∞）上是增函數(shù)?！鄷r(shí)，取得極大值。⑴求的單調(diào)區(qū)間；⑵若對(duì)于任意的，都有≤，求的取值范圍.解：⑴，令，當(dāng)時(shí)，與的情況如下：+00+0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，與的情況如下：0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是。解：⑴，或1令，解得令，解得，的增區(qū)間為；減區(qū)間為，⑵，即由題意兩根為，又且△，.設(shè)，或2+00+極大值極小值又， ，.恒成立之分離常數(shù)65. （分離常數(shù)）已知函數(shù)(1) 若在處的切線平行于直線，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若，且對(duì)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解: (1) 定義域?yàn)?直線的斜率為,.所以 由。0≤xxex122, 設(shè)xxexgx12)(2=,則2212)1()(39。解：（1） ,當(dāng)時(shí)，即. 當(dāng)時(shí)，即或. 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由時(shí)，即，由（1）可知在上