【正文】 國數(shù)學(xué)家 第一個構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑小波。 1989 年 提出多分辨分析概念，統(tǒng)一了在此之前的各種構(gòu)造小波的方法，使小波變換完全走向?qū)嵱眯浴?Mallat 算法的提出標(biāo)志著小波理論獲得突破，開創(chuàng)了小波理論應(yīng)用于信號處理 領(lǐng)域的新局面 [4]。 小波分析方法成功地應(yīng)用在去噪領(lǐng)域，是由于小波變換具有如下特點 [5]： ① 低熵性：小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖像變換后的熵降低。 ③ 去相關(guān)性：因為小波變換可以對信號進(jìn)行去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢，所以小波域比空域更利于去噪。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 9 時頻 特性 信號分析的主要目的，一般是為了獲得時間和頻域之間的相互關(guān)系。傅里葉變換要求提供全部信號的信息，時域信號的局部改變會影響頻域的全局改變 ， 同樣的 頻域中的某點變化也會影響全部 的 時域。 相比而言，小波變換通過平移母小波可獲得信號的時間信息，而通過縮放小波的寬度 (尺度 )可獲得信號的頻率特性，是時間（空間）頻率的局部化分析。即在低頻部分（信號較平穩(wěn)）可以采用較低的時間分辨率，而提高頻率的分辨率；在 高頻 情況下（頻率變換不大）可以用較低的頻率分辨率來換取精確的時間定位。因此，小波變換被譽為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。信號，特別是圖像信號，含有不同分辨率的 物理結(jié)構(gòu)特征。從頻域觀點看，信號多分辨率分解相當(dāng)于信號多頻道分解。 多分辨 率分析的作用是將信號分解成不同空間的部分，多分辨率 跟小波變換建立了密切的聯(lián)系。 常用小波函數(shù) ① Haar 小波：最早、最簡單的小波，本身是一個階躍函數(shù)。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 10 ③ SymletA 小波族：即 symN 小波族，類似于 db 小波族，但具有更好的對稱性 。 小波變換 連續(xù)小波變換 設(shè)函數(shù) )(t? 具有有限能量，即 )()( 2 RLt ?? ，定義： dtet tj?? ????? ??? )()( （ ） 如果 )(?? 滿足以下條件： ????? ?? ?? ??? dC 2)( （ ） 那么下式就稱為小波函數(shù)： )(1)(, a bxaxba ???? RbRaa ??? ,0且 （ ） 其中， )(t? 稱為基小波函數(shù)， a 為尺度因子， b 為位移因子。由式（ ）可以看出，小波函數(shù)就是一個滿足式（ ）的函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移得到的一族函數(shù)。也就是說函數(shù)應(yīng)具有速降特性，以便獲得空間局域化。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 11 事實上傅里葉變換就是所有時間上的信號與負(fù)指數(shù)的乘積之和。 dxa bxaxfdxxxfbaW baf)(1)()()(),( ,????????????? （ ） 其逆變換為 2,0 )(),(1)( adadbxbaWCxf baf ?? ? ?? ???? （ ） 式（ ）為小波 變換 公式，式（ ）為小波重構(gòu)公式，從這兩個式子可以看出，一個一維函數(shù)的連續(xù)小波是一個雙變量函數(shù)，因此稱連續(xù)小波變換是超完備的，因為它要求的存儲量和代表的信息量都增加了。小波變換的時寬和頻寬的乘積都很小，而且在時間和空間上都很集中。二維連續(xù)小波的逆變換的定義如下： 3,0 ),(),(1)( adadbdbyxbbaWCxf yxbbayxf yx?? ? ? ?? ??? ???? （ ） 離散小波變換 ⒈ 離散小波的定義 連續(xù)小波變換主要用于理論 上的 分析， 而 在實際應(yīng)用中離散小波變換 DWT(Discrete Wavelet Transform)更適用于計算機(jī)處理。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 12 dtnbtatfaW mmf )()( 0020 ??? ????? ? （ ） ⒉ 尺度函數(shù) 由尺度函數(shù)構(gòu)造小波是小波變換的必經(jīng)之路。 與小波函數(shù) )(t? 相比較，其傅里葉變換 )(??具有低通特性， )(?? 具有帶通特性。 ③ 尺度函數(shù)對所 有的小波是正交的。 ⑤ 某一尺度上的尺度函數(shù)可以由下一尺度的線性組合得到。 ⒊ 緊支集概念 緊支集是小波變換中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)概念，它是衡量小波性能的重要指標(biāo)。函數(shù)的支集就是函數(shù)定義域的閉子集，也就是說這 樣一個最小的閉子集或區(qū)間 ],[ ba ，使得在 ],[ ba 之外 函數(shù) )(tf 為零。一個序列是緊支撐的，就是說有有限多的元素在域中為零，稱它為有限支撐。 ⒋ 正交小波變換 正交小波是從多尺度分析概念直接推廣過來的，具有一定的特殊性，即在信號域和小波函數(shù)域其標(biāo)準(zhǔn)化正交基都是小波函數(shù)本身，而且其存在性也并未加以證明，那么更一般來講，對于滿足一定條件的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，任何信號在這個正交基上展開的系數(shù)也也可以線性的疊加成原信號。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 13 一維小波變換里說的都是正交 小波變換，它是對連續(xù)信號在小波基上進(jìn)行分解。用濾波器的觀點看，就是把信號通過低頻和高頻濾波器分解為近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)兩個部分。 小波去噪 去噪原理 ⒈ 去噪原則 信號去噪的原則主要有兩點，一是要求 去噪后的信號和原信號的方差 估計應(yīng)該是最壞情況下的方差最小 (Minmax Estimator)； 二是 在大部分情況下，去噪后的信號應(yīng)該至少和原信號具有同等的光滑性。 正則性越高，函數(shù)的光滑性越好。 二維離散小波變換往往可以由一維信號的離散小波變換推導(dǎo)得到 ， 而二維雙正交小波變換可以分解為兩個一維小波變換。 假設(shè) )(x? 為一維尺度函數(shù)， )(y? 為相應(yīng)的小波函數(shù)，則可以得到二維小波變換的基礎(chǔ)函數(shù)： ),(),(),()(),(),()()(),()()(),(yxyxyxyyxyxyxyxyxyxDVHA???????????????? )( 其中， )(x? 、 )(y? 分別是沿著 x 和 y 兩個方向上的一維小波函數(shù)。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 14 對于圖像而言，我們往往可以把它看成二維矩陣，一般我們假設(shè)圖像矩陣的大小為NN? ，且有 nN 2? (n 為非負(fù)整數(shù) )。 具體的說，在經(jīng)過每次小波變換后，圖像便可分為四 個大小為 原始 尺寸的四分之一的子塊頻帶區(qū)域，它們分別是：低 — 低 (LL)、低 — 高 (LH)、高 — 低 (HL)和高 — 高 (HH)。進(jìn)一步對 LL 子圖像應(yīng)用二維小波變換，構(gòu)造下一尺度的四個子圖像，直至得到滿意的小波尺度為止。小波變換為圖像去噪提供很好的圖像表示形式，通過對變換后的系數(shù)進(jìn)行分析和適當(dāng)?shù)娜∩嵩僦貥?gòu)圖像，最終實現(xiàn)圖像的去噪處理 。使用一定的閾值處理細(xì)節(jié)分量后，再經(jīng)過小波重構(gòu)就可以得到平滑的信號。 給定一個閾值 ? ，所有絕對值小于某個閾值 ? 的小波系數(shù)被看成“噪聲”，它們的值用零代替；而超過閾值的小波系數(shù)的數(shù)值用閾值 ? 縮減后再重新取值。 如果閾值太小，去噪后的信號仍有噪聲存在；相反，閾值如果太大，重要信號特征將被濾掉，引起偏差。大多數(shù)閾值選擇過程是針對一組小波系數(shù)，即根據(jù)本組小波系數(shù)的統(tǒng)計特性，計算出一個閾值 ? 。硬閾值是令絕對值小于閾值的信號點的值為零，這種方法的缺點是在某些點會產(chǎn)生LL1 HL1 LH1 HH1 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 15 間斷；軟閾值在硬閾值的基礎(chǔ)上將邊界出現(xiàn)不連續(xù)的點收縮到零，這樣可以有效地避免間斷，使得重構(gòu)后的信號比較光滑。 ⒊ 基本去噪模型 如果 一個信號 )(nf 被噪聲污染后為 )(ns ，那么基本的噪聲模型為： ?)()()( nenfns ?? （ ） 其中 )(ne 為噪聲， ? 為 噪聲強(qiáng)度。 小波變換的目的就是要抑制 )(ne 以恢復(fù) )(nf ，即盡量將 )(ne 去掉，并且盡量減少)(nf 的損失 。尤其是 )(nf 的分解系數(shù)比較稀松（即非零項很少）的情況下，這種方法的效率很高。 去噪步驟 MATLAB 中用于小波變換的函數(shù)為 [C,L]=wavedec(X,N, 39。):用名稱為 wname的小波函數(shù)完成對信號 X 的一維多尺度系數(shù)組成。 ⒈ 一維信號去噪 一般來說，一維 信號 的去噪處理可以分三步 [7]： ① A=appcoef(C,L, 39。,N)：用于小波分解結(jié)構(gòu) [C,L]中提取一維信號 在第 N 層上的低頻系數(shù)。 ③ X=waverec(C,L,N)：根據(jù)系數(shù)向量重構(gòu)信號 X。小波分析工 具箱中用于信號去噪處理的函數(shù)如表 所示。 ① Ddencmp 函數(shù)： 調(diào)用方式： [thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(in1,in2,x) ● 輸入?yún)?shù) x為一維或二維的信號向量或矩陣； ● in1 為指定處理 的目的是去噪還是壓縮 方式， in1=den，為 信號去噪 ； ● in2 為指定處理方式， in2=wv，為使用小波分解， in2=wp，為使用小波包分解； ● thr為函數(shù)選擇的閾值； ● 輸出參數(shù) sorh為函數(shù)選擇的閾值使用方式， sorh=s，為軟閾值， sorh=h，為硬閾值； ● 輸出參數(shù) keepapp 決定了是否對近似分量進(jìn)行閾值處理，可選為 1 或 0； ● 輸出參數(shù) crit 為 使用小波包進(jìn)行分解時選取的熵函數(shù)類型。 ● tptr=rigrsure：使用 Stein的無偏似然估計原理所得到自適應(yīng)閾值； 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 17 ● tptr=heursure：啟發(fā)式閾值選擇，為最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇； ● tptr=sqtwolog：固定閾值； ● tptr=minimaxi：采用極大極小值原理選擇閾值。wname39。 當(dāng) [xd,cxd,lxd]=wden(c,l,tptr,sorh,scal,n, 39。)時，由有噪信號的小波分解結(jié)構(gòu)得到去噪處理后的信號 xd，及其小波分解結(jié)構(gòu) [cxd,lxd]。 ④ Wpdencmp 函數(shù)： [xd,cxd,lxd,perf0,perfl2]=wdencmp(39。,c,l,39。,n,thr,sorh)； 返回 信號 經(jīng)過小 波 去噪處理后的信號 xd，及 其 小波分解結(jié)構(gòu) [cxd, lxd]。 ● perf0 和 perfl2 是恢復(fù)和壓縮范數(shù)百分比 。 ● wname 為正交小波基函數(shù) 。二維信去噪的命令和一維信號的命令很相似，提供的功能也一樣，只是多了后綴“ 2”。 ● wavedec2：用于二維信號的多層分解。 ● appcoef2：求得某一層次的近 似系數(shù)。 ● wrcoef2：重建小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分解得到的結(jié)果的格式一致 。wname39。wname39。all39。pact 39。wname39。wname39。wname39。wname39。wname39。wname39。type39。wname39。type39。wname39。wname39。type39。wname39。 針對具體 的去噪 要求 本 文 設(shè)計 三種不同 的 方案 ， 實現(xiàn)圖像 的 去噪 。典型的反映為黑圖像上有白點，白圖像上有黑點，與其他像素點的灰度值有較大的差異，因而它必是某一鄰域內(nèi)的灰度極值。噪聲的一種判定方法是：如果該窗口 的中心像素灰度為窗口內(nèi)的極值，則判定為噪聲 ， 否則為信號。因此在本文中噪聲的檢測方法是考慮其鄰域均值，根據(jù)給定的系數(shù)進(jìn)行判定，用公式表示為： ????? ???為其他信號，或噪聲，000000jiW N X Njijii n j n X nWMeXnMeXX ??? （ ） 其中 WNXNnWMe? 為不包括窗口中心像素灰度值的均值， α、 β分 別為信號噪聲分區(qū)系數(shù)。中值濾波與線性如低通、高通濾波的結(jié)合形成了混合中值濾波。該方法可以 顯著提高圖像的清晰度、可懂度和信噪比。 圖像去噪技術(shù)的研究與實現(xiàn) 20 圖 混合中值濾波流程圖 小波去噪處理 小波域去噪的方法有很多，在這 里 采用小波包分析 的方法 進(jìn)行圖像去噪處理 [10]。 一般來說，小波包分析包括小波基包和小波框架包。 ② 重建命令：包括小波樹重建命令 wprcoef，完全重建命令 wprec 和 wprec2，以及小波樹節(jié)點重建命令 wpjoin。 從濾波器的角度， 小波包變換跟離散小波變換沒有本質(zhì)區(qū)別， 只是在原有的基礎(chǔ)上按同樣的方法對 近似 系數(shù)進(jìn)行分解 ， 所以其實現(xiàn)方法和離散小波變換方法相同 [11]。 下面介紹小波樹的概念。 所以單純地把所有系數(shù)都進(jìn)行分解 在這個層面上對解決問題是沒有幫助的，只會增加計算