相似三角形經典題型-在線瀏覽
2025-05-12 06:32本頁面
【正文】 ，因此兩個等邊三角形一定相似. (5)一定相似. 全等三角形對應角相等，對應邊相等，所以對應邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1. 舉一反三 【變式1】兩個相似比為1的相似三角形全等嗎？ 解析：，所以對應邊相等. 因此這兩個三角形全等. 總結升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)兩個直角三角形，兩個等腰三角形不一定相似. (2)兩個等腰直角三角形，兩個等邊三角形一定相似. (3)兩個全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個相似三角形全等. 【變式2】下列能夠相似的一組三角形為( ) 解析：根據相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個角對應相等，其他的角是否對應相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對應邊的比相等；C中所有三角形都是由90176。、45176。AB=10，BC=△EDF中，∠F=90176。. 由勾股定理得. 在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90176?！ 唷鰽DQ∽△QCP． 【變式2】如圖，弦和弦相交于內一點，求證：. 思路點撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉化為比例式，. 證明：連接 ，. 在 ∴∽ ∴. 【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點． 求證：△DFE∽△ABC． 思路點撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對應成比例的兩個三角形相似． 證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線， ∴ DE=AB， 即 =． 同理 =． ∵ EF為△ABC的中位線， ∴ EF=BC， 即 =． ∴ ==． ∴ △DFE∽△ABC． 總結升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．類型三、相似三角形的性質 5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由. 思路點撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進行討論. 解：設另兩邊長是xcm，ycm，且xy. (1)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (2)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對應邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (3)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對應邊時，有， 從而x=cm，y=cm. 綜上所述，△DEF的另外兩邊的長度應是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能. 總結升華：一定要深刻理解“對應”，若題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類. 6．如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=. 思路點撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質求出矩形的長和寬，從而求出矩形的面積. 解：∵ 四邊形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵ 矩形兩鄰邊之比為1：2，設EF=xcm，則EH=2xcm. 由相似三角形對應高的比等于相似比，得， ∴ ，∴ ，. ∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴ . 總結升華：解決有關三角形的內接矩形、內接正方形的計算問題，經常利用相似三角形“對應高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質，若圖中沒有高可以先作出高. 舉一反三 【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點，CM交AB于N，若，求. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC ∴ ∵M為DE中點， ∴ ∵DM∥BC ， ∴△NDM∽△NBC ∴ ∴=1：2. 總結升華：圖中有兩個“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個“”字形，利用M為DE中點的條件將條件由一個“”字形轉化到另一個“”字形，從而解決問題.類型四、相似三角形的應用 7．如圖，我們想要測量河兩岸相對應兩點A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 方案1：如上左圖，構造全等三角形，測量CD，得到AB=CD，得到河寬. 方案2： 思路點撥：這是一道測量河寬的實際問題，還可以借用相似三角形的對應邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條. 如上右圖，先從B點出發(fā)與AB成90176。沿CD方向再走17m到達D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？ 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90176?！ ?∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴
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