相似三角形經(jīng)典題型(已改無錯字)
2023-04-25 06:32:33 本頁面
【正文】 例的兩個三角形相似． 證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線， ∴ DE=AB， 即 =． 同理 =． ∵ EF為△ABC的中位線， ∴ EF=BC， 即 =． ∴ ==． ∴ △DFE∽△ABC． 總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．類型三、相似三角形的性質(zhì) 5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長度，你能求出△DEF的另外兩邊的長度嗎？試說明理由. 思路點撥：因沒有說明長4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進行討論. 解：設另兩邊長是xcm，ycm，且xy. (1)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長5cm線段是對應邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (2)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長6cm線段是對應邊時，有， 從而x=cm，y=cm. (3)當△DEF中長4cm線段與△ABC中長7cm線段是對應邊時，有， 從而x=cm，y=cm. 綜上所述，△DEF的另外兩邊的長度應是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能. 總結(jié)升華：一定要深刻理解“對應”，若題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類. 6．如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=. 思路點撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長和寬，從而求出矩形的面積. 解：∵ 四邊形EFGH是矩形，∴ EH∥BC， ∴ △AEH∽△ABC. ∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF. ∵ 矩形兩鄰邊之比為1：2，設EF=xcm，則EH=2xcm. 由相似三角形對應高的比等于相似比，得， ∴ ，∴ ，. ∴ EF=6cm，EH=12cm. ∴ . 總結(jié)升華：解決有關三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計算問題，經(jīng)常利用相似三角形“對應高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒有高可以先作出高. 舉一反三 【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點，CM交AB于N，若，求. 解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC ∴ ∵M為DE中點， ∴ ∵DM∥BC ， ∴△NDM∽△NBC ∴ ∴=1：2. 總結(jié)升華：圖中有兩個“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個“”字形，利用M為DE中點的條件將條件由一個“”字形轉(zhuǎn)化到另一個“”字形，從而解決問題.類型四、相似三角形的應用 7．如圖，我們想要測量河兩岸相對應兩點A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測量CD，得到AB=CD，得到河寬. 方案2： 思路點撥：這是一道測量河寬的實際問題，還可以借用相似三角形的對應邊的比相等，比例式中四條線段，測出了三條線段的長，必能求出第四條. 如上右圖，先從B點出發(fā)與AB成90176。角方向走50m到O處立一標桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90176。，沿CD方向再走17m到達D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？ 解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90176?！ ∮?∵ ∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河寬為85m． 總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實際上測量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 舉一反三 【變式1】如圖：小明欲測量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時他距離該塔18 m， m，他的影長是2 m． (1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90176?！ ?∵∠A=∠A ∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴ ∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC= ∴ ∴DE=16m 答：古塔的高度為16m. 【變式2】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，=，窗口高AB=，求窗口底邊離地面的高BC？ 思路點撥：光線AD//BE，作EF⊥，利用邊的比例關系求出BC. 解：作EF⊥∥BE，所以又因為， 所以，所以. 因為AB∥EF， AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=. 所以m.類型五、相似三角形的周長與面積 8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點，△ADE的面積為
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