相似三角形經(jīng)典題型(已修改)
2025-04-06 06:32 本頁面
【正文】 .. . . ..相似三角形知識點(diǎn)與經(jīng)典題型知識點(diǎn)1 有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形. (2)如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比(相似系數(shù))．知識點(diǎn)2 比例線段的相關(guān)概念（1）如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時，線段單位要統(tǒng)一。（2）在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．注：①比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：．②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng), a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)， 此時有。（3）黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈．即 簡記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形知識點(diǎn)3 比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0） （1） 基本性質(zhì)：①；②．注：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為，還可化為，，，．（2） 更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)： ．（4）合、分比性質(zhì)：．注：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：等等． （5）等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零．③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．知識點(diǎn)4 比例線段的有關(guān)定理 :平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. 由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例. ②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線). 此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.③平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比. :三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例. 已知AD∥BE∥CF, 可得等. 注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。知識點(diǎn)5 相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號“∽”表示，讀作“相似于” ．相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．注：①對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊． ②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例．知識點(diǎn)6 三角形相似的等價關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價關(guān)系：①反身性：對于任一有∽． ②對稱性：若∽，則∽． ③傳遞性：若∽，且∽，則∽(2) 三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形： 用數(shù)學(xué)語言表述是：， ∴ ∽．知識點(diǎn)7 三角形相似的判定方法定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．判定定理2：如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90176。，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BDDC，AB2=BDBC ，AC2=CDBC 。知識點(diǎn)8 相似三角形常見的圖形 下面我們來看一看相似三
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