橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型例題-在線瀏覽
2025-05-12 04:50本頁(yè)面
【正文】 在軸上時(shí)，得．由，得，即．∴滿足條件的或．說(shuō)明：本題易出現(xiàn)漏解．排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)榕c9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在軸上，也可能在軸上．故必須進(jìn)行討論．典型例題十四例14 已知橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，求到左準(zhǔn)線的距離．分析：利用橢圓的兩個(gè)定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解．解法一：由，得，．由橢圓定義，得．由橢圓第二定義，為到左準(zhǔn)線的距離，∴，即到左準(zhǔn)線的距離為．解法二：∵，為到右準(zhǔn)線的距離，∴．又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為．∴到左準(zhǔn)線的距離為．說(shuō)明：運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性．否則就會(huì)產(chǎn)生誤解．橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如．一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的問(wèn)題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問(wèn)題，則用橢圓的第二定義．典型例題十五例15 設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點(diǎn)與軸正向所成角，求點(diǎn)坐標(biāo)．分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解．解：設(shè)，由與軸正向所成角為，∴，即．而，由此得到，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．典型例題十六例16 設(shè)是離心率為的橢圓 上的一點(diǎn)，到左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)的距離分別為和，求證：，．分析：本題考查橢圓的兩個(gè)定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離．解：點(diǎn)到橢圓的左準(zhǔn)線的距離，由橢圓第二定義，∴，由橢圓第一定義，．說(shuō)明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點(diǎn)弦）的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用．請(qǐng)寫(xiě)出橢圓焦點(diǎn)在軸上的焦半徑公式．典型例題十七例17 已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)．(1) 求的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：本題考查橢圓中的最值問(wèn)題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法．二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法．本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就能簡(jiǎn)捷求解．解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，∴，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線．由，∴，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，此時(shí)、共線．建立、的直線方程，解方程組得兩交點(diǎn)、．綜上所述，點(diǎn)與重合時(shí)，取最小值，點(diǎn)與重合時(shí)，取最大值．(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，作垂直橢圓右準(zhǔn)線，為垂足，由，∴．由橢圓第二定義知，∴，∴，要使其和最小需有、共線，即求到右準(zhǔn)線距離．右準(zhǔn)線方程為．∴到右準(zhǔn)線距離為．此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為1，代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．說(shuō)明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)
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