橢圓的簡單幾何性質(zhì)典型例題-wenkub
2023-04-09 04:50:57 本頁面
【正文】 斜率為，利用條件求．解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，并整理得．由韋達(dá)定理得．∵是弦中點(diǎn)，∴．故得．所以所求直線方程為．分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：．解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、則由題意得①－②得． ⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．說明：（1）有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，主要有三種類型：過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦；平行弦的中點(diǎn)軌跡；過定點(diǎn)的弦中點(diǎn)軌跡．（2）解法二是“點(diǎn)差法”，解決有關(guān)弦中點(diǎn)問題的題較方便，要點(diǎn)是巧代斜率．（3）有關(guān)弦及弦中點(diǎn)問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點(diǎn)差法”．有關(guān)二次曲線問題也適用．典型例題七例7 求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點(diǎn)；（2）在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的聯(lián)機(jī)互相垂直，且焦距為6．分析：當(dāng)方程有兩種形式時(shí)，應(yīng)分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．由已知． ①又過點(diǎn)，因此有或． ②由①、②，得，或，．故所求的方程為或．（2）設(shè)方程為．由已知，所以．故所求方程為．說明：根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”．關(guān)鍵在于焦點(diǎn)的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程或．典型例題八例8 橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值．一般地，求均可用此法．解：由已知：，．所以，右準(zhǔn)線．過作，垂足為，交橢圓于，故．顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上．故．所以．說明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理．事實(shí)上，如圖，即是到右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)，使到的距離與到右準(zhǔn)線距離之和取最小值．典型例題九例9 求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值．解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為．當(dāng)時(shí)，．說明：當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易解決問題時(shí)，可建立曲線的參數(shù)方程．典型例題十例10 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上的點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)．分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析
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