【正文】 {,[ ii PSNG ?),( 21 ???? ? nssss ?),( 21 ???? ? nssss ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 23定理 證明： 用 反證法 。則有 和 , , 使得 （ ） 那么在局中人 在對 的剔除過程中應有對任意的策略組合 滿足 （ ）式。 從而定理 。這就是一個有相互影響的多人決策問題。 12( , , , )ns s s s?[ , { } , { } ]iiG N S P? iN?iisS? 12( , , , )inP s s sin n121m a x( ( ) , ( ) , , ( ) ).nniP s P s P sst isS???《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 25納什均衡點與多目標規(guī)劃求解比較（續(xù)） ? 囚犯困境是一個 2人非合作博弈 兩個局中人策略集 和支付 函數(shù) 都表示在表 ? 圖 囚犯困境中的局中人 收益圖 12,SS12,PP O P 1P 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 1 0DACB 2以囚徒困境為例 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 26納什均衡點與多目標規(guī)劃求解比較（續(xù)） 各點代表不同策略組合下雙方的收益： ? A點對應策略組合（承認，承認） ? B點對應策略組合（承認，不承認） ? C點對應策略組合（不承認，不承認） ? D點對應策略組合（不承認，承認） ? B點、 C點和 D點所代表的策略組合 都是單人決策的多目標規(guī)劃（ ） 中的非劣解。 O P 1P 2 4 6 8 1 0 2 4 6 8 1 0DACB 2《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 27納什均衡點與多目標規(guī)劃求解比較（續(xù)） 結(jié)論： （一）非合作博弈中的納什均衡點，不可能用（ ）表示的多目標規(guī)劃作為替代，雙方有不同的思想基礎。 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 28167。 ? 策略集有限 ，即 ， 此類博弈我們稱為 雙矩陣博弈 。當 不唯一時，均在下面劃線。當 不唯一時，均在下面劃線。 (4)若不存在滿足（ 3）的數(shù)對，則該博弈無純策略納什均衡。 (2)若不存在能夠同時得到劃線的數(shù)對，則 無純策略納什均衡點。 ? 若不存在同時得到劃線的數(shù)對，即不存在 同時滿足（ ）和（ ）式，則博弈 也就不存在純策略納什均衡點。 定理 無限純策略納什均衡點存在性定理 無限策略納什均衡點的求解思路 例 古諾模型 例 伯川德雙寡頭壟斷模型 例 公共地的悲劇 例 豪泰林價格競爭模型 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 37定理 在博弈 中，若局中人 的策略集 是有界閉區(qū)域，支付函數(shù) 對任意 都是 的擬凹連續(xù)函數(shù)，則博弈 一定存在有純策略納什均衡點。 若（ ）式中不等號為嚴格不等號，則稱 為 上的 嚴格擬凹函數(shù) 。這時，最優(yōu)反應函數(shù)為 : （ ） 若 在閉區(qū)間 上連續(xù)可微且對任意 是嚴格擬凹函數(shù)，則令 可得最優(yōu)反應函數(shù)： )( ii sfs ??)( ii sfs ??iisS???}{)( iii ssB ?iisS???( , )i i iP s s? ],[ iii baS ?0???iisP( , )i i iP s s?is《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 42例 古諾模型 設市場有 2兩個寡頭廠商，生產(chǎn)并銷售同一種產(chǎn)品。市場的逆需求函數(shù)為 一個正常數(shù)，即該產(chǎn)品的市場最高價格且 。兩個廠商事前沒有任何協(xié)議和約定，同時分別決定生產(chǎn)的產(chǎn)量，以追求市場的最大利潤（設廠商的生產(chǎn)產(chǎn)量沒有限制，但 ）。廠商各自的利潤函數(shù)： （ ） （ ） 由（ ）和（ ）式可知， 對任何 都是 的嚴格連續(xù)凹函數(shù)， 對任何 都是 的嚴格連續(xù)凹函數(shù)。均衡結(jié)果，分別為： 。但邊際利潤不僅與自己的產(chǎn)量 有關(guān)，也受到廠商 2的產(chǎn)量 的影響。廠商 2也是同樣的，要滿足邊際成本等于邊際利潤，其產(chǎn)量 與對方的生產(chǎn)產(chǎn)量必須滿足（ ）式。 110q?? ??1q 2q1q2q2q《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 47例 古諾模型（續(xù)） 納什均衡點和多目標規(guī)劃中解概念的差異 —— 1 以例 ，將有限策略放寬至無限 2 假設廠商 1和廠商 2有相同的不變邊際成本，即 12c c c??《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 48例 古諾模型（續(xù)） ? 將古諾模型中兩廠商如何取得自己收益最大作為多目標規(guī)劃問題： () 其中 和 均由（ ）和（ ）兩式確定（ ）。 ? 直線 AB的確定 若兩廠商由一個壟斷集團控制，則最優(yōu)產(chǎn)量為下式的最優(yōu)解： 1 1 2 2 1 2( , ) ( , )q q q q? ? ???11 [ 0 , )qS? ? ? ?22 [ 0 , )qS? ? ??max..st12 4acqq ???《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 51例 古諾模型（續(xù)） 取 ，求解上式，則當 時， 有最值 。這樣，廠商 1和廠商 2的收益的帕累托邊界為直線段 AB。而此時古諾模型的納什均衡為： 12 3cc acqq ??? 對應的收益為圖 C點，即兩廠商的收益分別是 。 212()9cc ac?? ??? 12( , )ccqq《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 53例 古諾模型（續(xù)） 結(jié)論 —— 在策略集為無限時，納什均衡點仍然不是多目標規(guī)劃中的非劣解。造成這種差別的原因在于，納什均衡是多人決策，而多目標規(guī)劃是單人決策。 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 54伯川德雙寡頭壟斷模型 考慮市場上有兩個寡頭廠商生產(chǎn)同一類型產(chǎn)品。消費者對企業(yè)的產(chǎn)品的需求為： 其中 0b1，即只限于企業(yè) 的產(chǎn)品和企業(yè) 產(chǎn)品具有相互替代的情況。 兩個企業(yè)同時進行價格選擇行動。 1p 2p( , )i i j i jq p p a p b p? ? ?ijc ac ?iis0ip ?[ 0 , )iS ? ??《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 55伯川德雙寡頭壟斷模型（續(xù)） 企業(yè) 選擇價格 ，對手 選擇價格 ，企業(yè)的利潤為： （ ） 對于企業(yè) 1來說，若企業(yè) 2選定的價格為 ，它確定自己的價格 以追求最大利潤 對企業(yè) 1求 并且令 解得： （ ） i ip j jp( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )i i j i i j i i j ip p q p p p c a p b p p c? ? ? ? ? ? ?*2p1p11**1 1 2 1 2 100m a x ( , ) m a x ( ) ( )pp p p a p b p p c?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11p???110p?? ??**121 ()2p a bp c? ? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 56 伯川德雙寡頭壟斷模型（續(xù)） 同理，可得企業(yè) 2的最優(yōu)價格 （ ） 聯(lián)立 （ ）（ ） 解方程組得： （ ） 均衡結(jié)果為： （ ） **211 ()2p a bp c? ? ?**12 2acppb????212 ( ) ( ) [ ]2 2 2 2cc a c a c a c a c b ca b cb b b b??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 57例 公共地的悲劇 考慮有相同情況的 個牧民組成的某個牧民村，他們共同擁有一片草地。用 表示牧民 養(yǎng)羊的頭數(shù)，則牧民村的養(yǎng)羊總頭數(shù)為 。當草地上的羊的總頭數(shù)為 時，牧民養(yǎng)的一只羊的價值為 ，設 。而羊的總數(shù) 增加時，則正好相反，每只羊相對能吃到的草相對較少。對一只羊的價值 的上述特征用公式表示，則為 : ， 。 ( ) 0vG? 39。 ( ) 0vG? () 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 58例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 每年春天， 個牧民同時分別選擇牧養(yǎng)羊的數(shù)量。牧民 的策略是選擇在公共草地上牧養(yǎng)羊的數(shù)量 ，并有策略集 。 niiq [ 0 , ) , 1 , 2 , ,iS i n? ?? ?1 2 1 1( , , , , , , )i i nq q q q q?? i iq1( ) , 1 , 2 , ,i i i n iq v q q q c q i n? ? ? ? ? ? ? ?() iiq 1, 2, ,in?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 59例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 這構(gòu)成了一個