【正文】 1( t )x2( t )xn( t )ttt樣 本 空 間S1S2SnX ( t )tk圖 2 1樣本函數(shù)的總體 6 隨機過程 X(t)具有兩個基本特征： （ 1） X(t)是時間 t的函數(shù)； （ 2） 在某一觀察時刻 t1， 樣本的取值 X(t1)是一個隨機變量 。 可見 ， 隨機過程具有隨機變量和時間函數(shù)的特點 。而隨機變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。 隨機過程的分布函數(shù)和概率密度： 隨機過程的統(tǒng)計性質(zhì)可以由其分布函數(shù)和概率密度來描述 8 ),(),( 1111111 txfxtxF ??? 則稱 f1(x1, t1)為 X(t)的 一維概率密度函數(shù) 。 任給兩個時刻 t1, t2∈T ， 則隨機變量 X(t1)和 X(t2)構(gòu)成一個二元隨機變量 {X(t1), X(t2)}， 稱 F2(x1,x2,t1,t2)=P ｛ X(t1)≤x 1,X(t2)≤x 2 ｝ 為隨機過程 X(t)的 二維分布函數(shù) 。 ? ? ? ?2 1 2 1 21 2 1 212n , nnnnF x , x . . . , t t . . . , tf x , x . . . , x , t , t . . . , tx x . . . x??? ? ?, 2 如果存在 : 1 2 1 2f ( x , x , t , t )? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 1 2 2n n n n nF x , x , x , t , t , t P X t x , X t x , X t x??? ? ? ???X(t)的 n維概率密度 : 同理， X(t)的 n維分布函數(shù) : 10 如果對于 X(t)任意時刻和任意 n都給定了分布函數(shù)或概率密度 ， 即 n越大 ， 對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分 ， 但問題的復(fù)雜性也隨之增加 。 11 隨機過程的數(shù)字特征 分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性 , 但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而 用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。 為了描述隨機過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系 ， 還需利用二維概率密度引入新的數(shù)字特征 。 ? ?12X t ,t?14 兩隨機過程的聯(lián)合分布函數(shù)和數(shù)字特征 X(t)和 Y(t)是兩個隨機過程 （ 1） 聯(lián)合分布函數(shù)和概率密度 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2n ,m n n n nn n m mF x , x , x , t , t , t 。 , t 39。P X t x , X t x , X t x 。 y ,Y t 39。 y??? ? ? ? ? ? ???? ?? ?1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2n , m n n n nnmn , m n n n nF x , x , x , t , t , t 。 , t 39。x x x y y yp x , x , x , t , t , t 。 , t 39。?? ? ? ? ? ??15 n ,m n mn ,m n mF F F ,p p p????或者若 X(t)和 Y(t)是兩個相互獨立隨機過程 ,則 上式是 X(t)和 Y(t)是兩個相互獨立的充要條件 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2 1 2XYR t , t E X t Y t x y p x , t , y , t d x d y????????? ? （ 2） 兩個隨機過程的數(shù)字特征 互相關(guān)函數(shù)： 互協(xié)方差函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 21 2 1 2X Y X YX Y X YC t , t E X t m t Y t m tR t , t m t m t? ? ? ?? ? ?? ? ? ???互協(xié)方差函數(shù)＝ 0，則 X(t)和Y(t)不相關(guān) X(t)和 Y(t)獨立與不相關(guān)的關(guān)系？ 獨立，必不相關(guān)，反之，未必！ 正態(tài)隨機過程，獨立與不相關(guān)等價 16 嚴(yán) (狹義 )平穩(wěn)隨機過程定義 隨機過程 X(t),若對于任意 n和任意選定 t1,t2,…,tn, 以及任意的 ?， 有 pn(x1, x2, … , xn。 t1+?, t2+?, … , tn+?） 定義說明 :當(dāng)取樣點在時間軸上作任意平移時 ， 隨機過程的所有有限維概率密度函數(shù)或分布函數(shù)是不變的 ，具體到它的一維分布 , 則與時間 t無關(guān) ， 而二維分布只與時間間隔 τ 有關(guān) ， 即： 平穩(wěn)隨機過程是在通信系統(tǒng)中占重要地位的一種特殊而又廣泛應(yīng)用的隨機過程。 以后討論的隨機過程除特殊說明外 ，均假定是平穩(wěn)的 ， 且均指廣義平穩(wěn)隨機過程 ， 簡稱平穩(wěn)過程 。 21 平穩(wěn)隨機過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 條件： X(t)是實平穩(wěn)隨機過程 。 (4) 若 X(t)=X(t+T)， 即為周期是 T的隨機過程 ? ? ? ?XXR R T????? ? ? ? ? ?2 XXRR????? ? ? ? ? ?30XXRR? ? (5) 一般當(dāng) |τ |→∞ ， X(t)與 X(t+τ)相互獨立 ， 所以 ? ? ? ?2Xlim R E X t? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2X60 XXE X t E X t R R? ?? ??? ? ?????＝－ X(t)的直流功率 X(t)的交流功率 若均值為 0，則方差＝？ 22 各態(tài)歷經(jīng)性（遍歷性） 有種平穩(wěn)隨機過程 ， 它的數(shù)字特征 （ 均為統(tǒng)計平均 ）完全可由隨機過程中的任一實現(xiàn)的數(shù)字特征 （ 均為時間平均 ） 來替代 。 因此 ， 我們無需 （ 實際中也不可能 ） 獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù) ， 而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征 ， 從而使 “ 統(tǒng)計平均 ” 化為 “ 時間平均 ” ，使實際測量和計算的問題大為簡化 。 均值遍歷過程 自相關(guān)遍歷過程 24 注意： 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程 ， 但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的 。 如果不加特別說明 ， 遍歷過程即寬遍歷過程 。 25 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 隨機過程中的任一實現(xiàn)是一個確定的功率型信號 。 FT(ω)是 x(t)的截短函數(shù) xT(t)所對應(yīng)的頻譜函數(shù) 。 0TTx ( t ) t TF ( ) x ( t )tT?????? ??26 功率信號 x(t)及其截短函數(shù) xT(t) O tx T( t )tOT2163。過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均，即 22TTX TTE F ( )F ( )P ( ) E l i m l i mTT???? ? ? ?????????????PX(ω)就被稱為隨機過程 X(t)的功率譜密度。 ? ? ? ?2022XX PG ??? ?? ?? ? ?? 另外的變換關(guān)系 ？ 課本 P43 是 X(t)在 1Ω電阻上的平均功率 單邊功率譜定義： 30 例 ? ?10220p??? ??? ??????? 其它? ? ? ?12XXX ( t ) R t , t P ?求 的 和 。 公式見 P44。 （ 2） 對于正態(tài)隨機過程的任何兩個時刻的隨機 變量 ， 不相關(guān)也就是統(tǒng)計獨立 。 當(dāng) a=0， σ=1時，稱p(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。 誤差函數(shù)的定義式為 ? ?? x t dtexe r f 0 22)( ?誤差函數(shù) erf(x)是自變量的遞增函數(shù) erf(0)=0， erf(∞)= 1， 且 erf(x)=erf(x) 1erf(x)為互補誤差函數(shù) ， 記為 erfc(x), 即 ? ? ? ? dtexe r fxe r fcxt? ? ???? 221?互補誤差函數(shù) erfc(x)是 自變量的遞減函數(shù) ， erfc(0)=1，erfc(∞)=0， 且 erfc(x)=2erfc(x)。 概率積分函數(shù)定義為 ? ? 0,21x 2/2 ??? ? ?? ? xdtex t? Q函數(shù)是一種經(jīng)常用于表示高斯尾部曲線下的面積的函數(shù) ，其定義： 0,21)(1)( 2/2 ????? ? ? ? xdtexxQ x t? 正態(tài)分布函數(shù)和概率積分函數(shù)的關(guān)系： ? ? )(21 2/2 ?? ? axdtexF ax t ???? ? ????38 用誤差函數(shù)或互補誤差函數(shù)表示 F(x)的好處是 :它簡明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能 。 隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析 ， 完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的 。 例題： 帶限白噪聲 。 理想低通的傳輸特性為 ? ???? ??其他00HtjKeH ????46 解： ? ?????? ???其他0220020HnnKnHPPi???? ?????????????????HHjjnSaKndeKndePRHH2221)(21)(20020000?????????47 帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù) fOPo( ? )