線性代數(shù)的幾個基本概念-在線瀏覽
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【正文】 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???12 X = 1 0 3 X =0 X = 0 1 2 ?????????（ ， ， ）（ ， ， ） X = 0? 12 X , X????? 12 ( , )LX?? ?TC (A ) ( )NA??(3,2,1) (0,1,2) (1,0,3) T 12 C ( A ) ( , )L ???N(A) 例 3 ? ?1 2 31 2 32 4 6A ? ? ?????????1( ) ( )C A sp a n ??0TAy ? 21y??? ?????( ) ( )TN A span y?( ) ( )TC A N A?則 由 解得 則 顯然 Row space all ATy Column space all Ax Nullspace Ax=0 Left nullspace ATy=0 C(AT) dim r Rn N(A) dim nr Rm C(A) dim r N(AT) dim mr 互為正交補(bǔ) AX=b有解 b N(AT) ? ?Row space rxrxb?Arnx x x??b0nx ?Anullspace Left nullspace Action of on Arnx x x??Column space xAnx例 4 若 1236A??? ????分解 43x??? ????得 2241rnxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ?1 2 2 11 0 ( )3 6 4 3TrA x C A? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 2 0()3 6 1 0nA x N A? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?三、矩陣的奇異值分解 應(yīng)用領(lǐng)域 ； 特征值問題； 最小二乘問題； 廣義逆矩陣問題等 . ； 信號與圖像處理； 系統(tǒng)理論和控制等 . 矩陣的正交對角分解 若 A是 n階實對稱矩陣，則存在正交矩陣 Q，使得 (1) 其中 為矩陣 A的特征值，而 Q的 n個列向 量組成 A的一個完備的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量系 . 對于實的非對稱矩陣 A，不再有像式（ 1）的分解，但卻存在兩個正交矩陣 P和 Q，使 為對角矩陣，即有下面的正交對角分解定理 . 12( , , ... )T nQ AQ diag ? ? ??( 1 , 2 , ... )i in? ?TP AQ 定理 設(shè) 非奇異，則存在正交矩陣 P和 Q， 使得 (2) 其中 證 因為 A非奇異，所以 為實對稱正定矩陣，于是存 在正交矩陣 Q使得， 其中 為 特征值 令 , 12( ) ( , , .. . )TT nQ A A Q d iag ? ? ??0( 1 , 2 , .. . )i in? ??12( , , ... )T nP AQ diag ? ? ??nnAR??TAA0( 1 , 2 , .. . )i in? ??TAA( 1 , 2 , .. . )ii in???? 12( , , ... )ndi ag ? ? ???1() TAQ AQ?? ? ?2()TTQ A A Q ??1P AQ ???則有 或者 再令 ,于是有 即 P為正交矩陣，且使 改寫式 (2)為 (3) 稱式（ 3）為 正交矩陣 A的正交對角分解 11( ) ( )TTP P A Q A Q I??? ? ? ?12( , , .. . )T nP A Q d iag ? ? ?? ? ?12( , , ... ) TnA P di ag Q? ? ?? ? ?引理： 則 是對稱矩陣， 且其特征值是非負(fù)實數(shù) . 2. 3. 設(shè) 則 的充要條件是 ( 0 ) ,mnr r???AC()Trank A A rank A?TAA( 0 ) ,mnr r???AC 0?A0T A ?AA r TAA定義 設(shè) 是秩為 的 實矩陣， mn?的特征值為 1 2 1 0r r n? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?則稱 為 A的奇異值 . ( 1 , 2 , , )ii ir????( 0 )rr ?奇異值分解定理 設(shè) A是秩為 ( 0 )rr ?的 mn?則存在 階正交矩陣 實矩陣 , m U 與 階正交矩陣 ,V使得 T S????????OU AVOO?其中 12di a g( , , , )r? ? ???( 1
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