【正文】 1 ? – + x3 ? x3 k1 T1 k4 1 T2 ? – + x2 ? x2 k2 T2 k3 T3 ? x1 ? x1=y + u x1= x2 ? k3 T3 x3= – x3+ （ u– k4x1） ? k1 T1 1 T1 x2= – x2+ x3 ? 1 T2 k2 T2 – y =x1 .1 由系統(tǒng)方框圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例：含有零點 k S S–Z S+P u y + – 1 S+a Z +P S+P S–Z S+P =1– Z +P S+P k S u y + – 1 S+a + – .2 由系統(tǒng)的工作機理建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例：由 RLC組成的系統(tǒng)如圖， u為輸入變量， y為輸出變 量，試建立它的狀態(tài)空間表達(dá)式。 設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為 J。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。 ?：轉(zhuǎn)動的角度。 u=T 根據(jù)牛頓定律： T?????? BKJ ?21 xx ?????? ???? 2x1xy ???uxxx JJBJK 1212 ????? .2 由系統(tǒng)的工作機理建立狀態(tài)空間表達(dá)式 例：試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達(dá)式。 ? y = 1 0 x1 x2 x1 x2 = u 1 J 0 1 k J – B J – x1 x2 + 0 ? B K T B：粘性阻尼系數(shù)。 T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度 ?及其角速度 ?為狀態(tài)變量。 X=AX+BU Y=CX 設(shè) y、 y…… y（ n–1） 為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 u 0 x1 x2 + 0 … xn 0 b … 0 0 1 … 0 … … … … –an –an–1 –an–2 … –a1 y =x1 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式 y = 10 … 0 x1 x2 … xn a3 a2 a1 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 0 0 6 0 0 1 –a3 –a2 –a1 選擇待定系數(shù) c1 、 c2 、 c3使?fàn)顟B(tài)方程中不含導(dǎo)數(shù)項 輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 c1 c2 c3 x1 = x2+ c1 u x3 =–a3 x1 –a2 x2 –a1 x3 + c3 u 將上式展開： 求 c1 、 c2 、 c3 輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時 令： y= x1+c0u （ 1） x2 = x3+ c2 u … … a1 （ 3） + a2 （ 2） + a3 （ 1） +（ 4） 即： y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u ? ? … ? … ? ? ? 左式 =c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u … ? ? ? 輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時 y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u ? ? … ? … ? ? ? 左式 =c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u … ? ? ? 比較系數(shù)得： c0= b0 c1=b1–a1c0 c2=b2–a1c1 –a2c0 c3=b3–a1c2 –a2c1 –a3c0 對于 n階系統(tǒng)： =bn–a1–1–a2c n–2 … – aic n–i … –anc0 輸入函數(shù)包含導(dǎo)數(shù)項時 求系統(tǒng)的狀態(tài)變量 y= x1+c0u （ 1） y= x1+c0u = x2+c1u + c0u （ 2） y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （ 3） x1 = y –c0u （ 1） x2 = y –c1u – c0u （ 2） x3 = y – c2u– c1u– c0u（ 3） 解： c0=0 a3 a2 a1 例：將 y+4y+2y+y=u+u+3u變換為狀態(tài)空間表達(dá)式 … ? ? ? ? ? ? b1 b2 b3 b0=0 c1=b1–a1c0=1–4 0=1 c2=b2–a1c1 –a2c0=1 –4 1= –3 c3=b3–a1c2 –a2c1 –a3c0=3 –4 （ –3） –2 1=13 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 1 –3 13 k1 T1S+1 k2 S u y + – 1 T2S+1 + – 1 S 12 將 y+2y+4y+6y=2u變換為狀態(tài)空間表達(dá)式。 13 試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達(dá)式。 ? ? B K T B：粘性阻尼系數(shù)。 T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) U(S) Y(S) =G 39。Sn + b139。 S+bn 39。Sn + a139。 S+an 39。(S)= b1Sn–1+ b2Sn–2+ …+ bn–1 S+bn Sn + a1Sn–1+…+ an–1 S+an +d =G(S)+d 化為真分式： 輸出與輸入之間的直接傳遞關(guān)系 首先討論 G(S) .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 b1Sn–1+ b2Sn–2+ …+ bn–1 S+bn Sn + a1Sn–1+…+ an–1 S+an G(S) = G(S)特征方程的 n個極點互異 用部分分式法 G(S) = k1 S–S1 + …+ k2 S–S2 + kn S–Sn S S …S n：特征方程的極點 k k …k n：待定系數(shù) ki=Lim (S–Si) G(S) S?Si Lim (S–Si) [ S?Si k1 S–S1 + …+ k2 S–S2 + kn S–Sn ] 因為 ki= .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 設(shè)第 i個狀態(tài)變量的拉氏變換為 xi(S)= 1 S–Si U(S) (S–Si) xi(S)= U(S) Sxi (S)=Sixi(S)+U(S) 由拉氏反 變換得狀態(tài)方程： xi(t)= Sixi(t)+u ? x1(t)= S1x1(t)+u ? x2(t)= S2x2(t)+u ? xi(t)= Sixi(t)+u ? … … xn(t)= Snxn(t)+u ? .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 求輸出方程： G(S) = k1 S–S1 + …+ k2 S–S2 + kn S–Sn =k1x1(S)+ k2x2(S)+ …+ knxn(S) y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t) y(t)39。=k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t)+du x1(t)= S1x1(t)+u ? x2(t)= S2x2(t)+u ? xi(t)= Sixi(t)+u ? … = S1 0 0 … 0 x1 x2 … xn x1 k1 S1 ? xn =k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t)+du xi(t)= Sixi(t)+u ? ? x2 解：由 S3+7S2+14S+8=0 求得： S1= – S2= – S3= –4 則 G(S) = k1 S+1 + k2 S+2 + k3 S+4 k1 = Lim (S+1) G(S)= Lim (S+1) S? –1 S? –1 2S+1 (S+1)(S+2)(S+4) = –1 3 k2= Lim (S+2) G(S)= Lim (S+2) S? –2 S? –2 2S+1 (S+1)(S+2)(S+4) = 3 2 k3= Lim (S+4) G(S)= Lim (S+4) S? –4 S? –4 2S+1 (S+1)(S+2)(S+4) = –7 6 x1 x2 x3 = u –1 0 0 + x1 x2 x3 1 1 1 x1 –1 ? x3 x2 –2 u 1 1 1 1 1 1 y –1 3 3 2 –6 7 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 G(S)特征方程有相重極點 設(shè)系統(tǒng)有 5個特征根： S S S S S5。 0 0 S1 0 0 0 0 0 S4 0 x1 x2 x3 x4 x5 系統(tǒng)狀態(tài)方程： 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 G(S)特征方程有相重極點 Y(S) = + k11 (S–S1)3 U(S) + k5 S–S5 U(S) k13 (S–S1) U(S) + k12 (S–S1)2 U(S) + k4 S–S4 U(S) =k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S) x2(S)= 1 (S–S1)2 U(S) x3(S)= 1 (S–S1) U(S) x4(S)= 1 (S–S4) U(S) x5(S)= 1 (S–S5) U(S) x1(S)= 1 (S–S1)3 U(S) 求輸出方程： .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 G(S)特征方程有相重極點 Y(S)=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S) y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x3(t) + k4x4(t)+ k5x5(t) 系統(tǒng)輸出方程： y = k11 k12 k13 k4 k5 x1 x2 x3 x4 x5 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式 y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x2(t) + k4x4(t)+ k5x5(t) x1(t)= S1x1(t)+ x2(t) ? x4(t)= S4x4(t)+u ? x2(t)= S1x2(t)+ x3(t) ? x3(t)= S1x3(t)+ u ? x5(t)= S5x5(t)+u ? 信號流圖： ? x5 x4 S4 u k4 1 1 1 ? x3 x2 S1 1 ? x1 解：由 S3+7S2+16S+12=0 求得： S1= – S2= – S3= –3 則 G(S) = k11 (S+2)2 + k12 S+2 + k3 S+3 (S+2)2(S+3)=0 Kij= Lim 1 (j–1)! S?S1 dj–1 G(S) (S–S1)m dSj–1 G(S) = k11 (S+2)2 + k12 S+2 + k3 S+3 S?–2 K11= Lim 1 (1–1)! G(S) (S+2)2 Kij= Lim 1 (j–1)! S?S1 dj–1 G(S) (S–S1)m dSj–1 K12= Lim 1 (2–1)! S? –2 d2–1 G(S) (S