【正文】 及其角速度 ?為狀態(tài)變量。 u=T 根據(jù)牛頓定律： T?????? BKJ ?21 xx ?????? ???? 2x1xy ???uxxx JJBJK 1212 ????? .2 由系統(tǒng)的工作機理建立狀態(tài)空間表達式 例：試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為 J。 ? y = 1 0 x1 x2 x1 x2 = u 1 J 0 1 k J – B J – x1 x2 + 0 ? B K T B：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。 T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ?：轉(zhuǎn)動的角度。 解：設(shè)扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動角度 ?及其角速度 ?為狀態(tài)變量。 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達式 輸入函數(shù)不包含導數(shù)項時 設(shè)系統(tǒng)的微分方程： y（ n） +a1y（ n–1） +…… an–1 y+any=bu ? 變換為： X=AX+BU Y=CX 設(shè) y、 y…… y（ n–1） 為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。 ? 令： x1=y x2=y ? … xn–1=y（ n–2） xn=y（ n–1） 系統(tǒng)狀態(tài)方程： x1=x2 ? x2=x3 ? … xn–1= xn ? xn= y（ n） =–a1xn –a2xn–1 …… –anx1+bu ? .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達式 輸入函數(shù)不包含導數(shù)項時 系統(tǒng)狀態(tài)方程： x1=x2 ? x2=x3 ? … xn–1= xn ? xn= y（ n） =–a1xn –a2xn–1 …… –anx1+bu ? y =x1 = 0 1 0 … 0 x1 x2 … xn u 0 x1 x2 + 0 … xn 0 b … 0 0 1 … 0 … … … … –an –an–1 –an–2 … –a1 y =x1 .3 由系統(tǒng)的微分方程建立狀態(tài)空間表達式 y = 10 … 0 x1 x2 … xn a3 a2 a1 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 0 0 6 0 0 1 –6 –11 –5 y = 1 0 0 x1 x2 x3 例：將 y+5y+11y+6y=6u變換為狀態(tài)空間表達式 … ? ? ? 輸入函數(shù)包含導數(shù)項時 設(shè)系統(tǒng)的微分方程： y（ n） +a1y（ n–1） +…… an–1 y+any=b0u（ n） ? +b1u（ n–1） +…… bn–1u +bnu ? 設(shè)： y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u ? ? … … ? … ? ? ? 狀態(tài)空間表達式 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 c1 c2 c3 0 0 1 –a3 –a2 –a1 選擇待定系數(shù) c1 、 c2 、 c3使狀態(tài)方程中不含導數(shù)項 輸入函數(shù)包含導數(shù)項時 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 c1 c2 c3 0 0 1 –a3 –a2 –a1 x1 = x2+ c1 u x2 = x3+ c2 u x3 =–a3 x1 –a2 x2 –a1 x3 + c3 u 將上式展開： 求 c1 、 c2 、 c3 輸入函數(shù)包含導數(shù)項時 令： y= x1+c0u （ 1） x1 = x2+ c1 u x2 = x3+ c2 u x3 =–a3 x1 –a2 x2 –a1 x3 + c3 u y= x1+c0u = x2+c1u + c0u （ 2） y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （ 3） y= x3+c2u+c1u + c0u = –a3 x1 –a2 x2 –a1 x3+ c3 u +c2u + c1u+c0u （ 4） … … … a1 （ 3） + a2 （ 2） + a3 （ 1） +（ 4） 即： y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u ? ? … ? … ? ? ? 左式 =c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u … ? ? ? 輸入函數(shù)包含導數(shù)項時 y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u ? ? … ? … ? ? ? 左式 =c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u … ? ? ? 比較系數(shù)得： c0= b0 c1=b1–a1c0 c2=b2–a1c1 –a2c0 c3=b3–a1c2 –a2c1 –a3c0 對于 n階系統(tǒng)： =bn–a1–1–a2c n–2 … – aic n–i … –anc0 輸入函數(shù)包含導數(shù)項時 求系統(tǒng)的狀態(tài)變量 y= x1+c0u （ 1） y= x1+c0u = x2+c1u + c0u （ 2） y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （ 3） x1 = y –c0u （ 1） x2 = y –c1u – c0u （ 2） x3 = y – c2u– c1u– c0u（ 3） 因為： 所以： 狀態(tài)變量是由 y、 u及它的各價導數(shù)組成。 解： c0=0 a3 a2 a1 例：將 y+4y+2y+y=u+u+3u變換為狀態(tài)空間表達式 … ? ? ? ? ? ? b1 b2 b3 b0=0 c1=b1–a1c0=1–4 0=1 c2=b2–a1c1 –a2c0=1 –4 1= –3 c3=b3–a1c2 –a2c1 –a3c0=3 –4 （ –3） –2 1=13 x1 x2 x3 = u 0 1 0 + x1 x2 x3 1 –3 13 0 0 1 –1 –2 –4 y= x1 作業(yè)： 11試求系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立狀態(tài)空間表達式。 k1 T1S+1 k2 S u y + – 1 T2S+1 + – 1 S 12 將 y+2y+4y+6y=2u變換為狀態(tài)空間表達式。 … ? ? ? 13 將 uuyyy ????? ??? 323)4( 變換為狀態(tài)空間表達式。 13 試建立圖中所示的機械旋轉(zhuǎn)運動的狀態(tài)空間表 達式。設(shè)轉(zhuǎn)動慣量為 J。 ? ? B K T B：粘性阻尼系數(shù)。 K： 扭轉(zhuǎn)軸的剛性系數(shù)。 T：施加于扭轉(zhuǎn)軸上的力矩。 ?：轉(zhuǎn)動的角度。 .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) U(S) Y(S) =G 39。(S)= b039。Sn + b139。Sn–1+…+ bn–1 39。 S+bn 39。 a039。Sn + a139。Sn–1+…+ an–1 39。 S+an 39。 G 39。(S)= b1Sn–1+ b2Sn–2+ …+ bn–1 S+bn Sn + a1Sn–1+…+ an–1 S+an +d =G(S)+d 化為真分式： 輸出與輸入之間的直接傳遞關(guān)系 首先討論 G(S) .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 b1Sn–1+ b2Sn–2+ …+ bn–1 S+bn Sn + a1Sn–1+…+ an–1 S+an G(S) = G(S)特征方程的 n個極點互異 用部分分式法 G(S) = k1 S–S1 + …+ k2 S–S2 + kn S–Sn S S …S n：特征方程的極點 k k …k n：待定系數(shù) ki=Lim (S–Si) G(S) S?Si Lim (S–Si) [ S?Si k1 S–S1 + …+ k2 S–S2 + kn S–Sn ] 因為 ki= .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 設(shè)第 i個狀態(tài)變量的拉氏變換為 xi(S)= 1 S–Si U(S) (S–Si) xi(S)= U(S) Sxi (S)=Sixi(S)+U(S) 由拉氏反 變換得狀態(tài)方程： xi(t)= Sixi(t)+u ? x1(t)= S1x1(t)+u ? x2(t)= S2x2(t)+u ? xi(t)= Sixi(t)+u ? … … xn(t)= Snxn(t)+u ? .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 求輸出方程： G(S) = k1 S–S1 + …+ k2 S–S2 + kn S–Sn =k1x1(S)+ k2x2(S)+ …+ knxn(S) y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t) y(t)39。=k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t)+du 計入 d的影響 Y(S) = k1 S–S1 + …+ U(S) + k2 S–S2 U(S) kn S–Sn U(S) ?)( )( SX SY .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 矩陣形式： y(t)39。=k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t)+du x1(t)= S1x1(t)+u ? x2(t)= S2x2(t)+u ? xi(t)= Sixi(t)+u ? … = S1 0 0 … 0 x1 x2 … xn u 1 x1 x2 + 1 … xn 1 1 … 0 S2 0 … 0 … … … … 0 0 0 … Sn y = k1k2 … kn x1 x2 … xn 對角線標準形 +du .4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式 信號流圖： ? x1 x1 k1 S1 ? xn xn kn Sn y(t)39。=k1x1(t)+ k2x2(t)+ …+ knxn(t)+du xi(t)= Sixi(t)+u ? ? x2 x2 k2 S2 … u 1 1 1 1 1 1 y d 例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： G(S) = 2S+1 S3+7S2+14S+8 試用部分分式法寫出狀態(tài)空間表達式。 解：由 S3+7S2+14S+8=0 求得： S1= – S2= – S3= –4 則 G(S) = k1 S+1 + k2 S+2 + k3 S+4 k1 = Lim (S+1) G(S)= Lim (S+1) S? –1 S? –1 2S+1 (S+1)(S+2)(S+4) = –1 3 k2= Lim (S+2) G(S)= Lim (S+2) S? –2 S? –2 2S+1 (S+1)(S+2)(S+4) = 3 2 k3= Lim (S+4) G(S)= Lim (S+4) S? –4 S? –4 2S+1 (S+1)(S+2)(S+4) = –7 6 x1 x2 x3 = u –1 0 0 + x1 x2 x3