【正文】 原理計(jì)算摩擦力，使橫向平衡微分方程得到了精確滿足，在板寬邊緣采用精確的應(yīng)力邊界條件，完成了寬板條件下（B＝150mm，寬厚比約為300）的三維差分?jǐn)?shù)值計(jì)算。并且由于差分法在迭代過程中容易發(fā)散，因此不適合寬帶鋼軋制情況。80年代初，連家創(chuàng)教授提出了入、出口厚度橫向按四次及高次函數(shù)分布的變分求解方法，以此求得板帶出口橫向位移函數(shù)及寬展量。國外的一些學(xué)者相繼做了一些這方面的工作。國內(nèi)連家創(chuàng)研究組于1982年提出條元法理論，它將變形區(qū)分為許多縱向條元，以變形區(qū)出口條元節(jié)線上的橫向位移為待定參數(shù)，根據(jù)最小能量原理并使用優(yōu)化方法求得出口橫向位移的數(shù)值解，可解決大寬厚比的軋制問題。有限元法的基本思想是用有限元素的集合代替整個(gè)物體。1956年特納（Turner）成功地把有限元應(yīng)用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析后，它的應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到固體力學(xué)、流體力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。它將彈性連續(xù)體（軋輥輥系）離散化為有限個(gè)單元組成的集合體，再按結(jié)構(gòu)距陣分析的方法來求解，一般要用計(jì)算機(jī)來運(yùn)算。但其在前后處理工作和計(jì)算工作量上需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力。金屬變形時(shí)若總體應(yīng)變足夠大，彈性應(yīng)變可忽略，金屬流動(dòng)視為非牛頓型的粘性流動(dòng)，可用粘塑性有限元法求解，其應(yīng)力－應(yīng)變遵循Perzyna粘塑性本構(gòu)關(guān)系；剛塑性有限元法也忽略金屬的彈性變形，每次加載采用較大的增益量，可縮短計(jì)算時(shí)間，以LevyMises流動(dòng)準(zhǔn)則作為本構(gòu)關(guān)系，通常只適用于冷加工；彈塑性有限元法以PrandtlReuss流動(dòng)準(zhǔn)則為本構(gòu)關(guān)系，綜合考慮金屬變形過程的彈性變形與塑性變形，不僅能按照變形路徑得到塑性區(qū)的發(fā)展情況、工件的應(yīng)力應(yīng)變分布規(guī)律以及幾何形狀的變化，而且還能有效地處理卸載等問題，計(jì)算殘余應(yīng)力和殘余應(yīng)變，因此求解精度較前兩者高。熱軋過程的軋件變形屬于三維彈塑性熱力耦合的高度非線性問題。，快速模擬各種冷熱鍛造、擠壓、軋制以及多步鍛造等體成型過程的工藝制造專用軟件。其圖形界面采用工藝工程師的常用術(shù)語，容易理解，便于運(yùn)用?？蓪?duì)加工后的包含殘余應(yīng)力的工件進(jìn)行進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)分析，模擬加工產(chǎn)品在后續(xù)的運(yùn)行過程中的性能，有助于改進(jìn)產(chǎn)品加工工藝或其未來的運(yùn)行環(huán)境。 模型建立定義軋輥為剛性理想圓柱體（Rigid Tool），即軋輥凸度為零。考慮到板帶軋制的對(duì)稱性特點(diǎn)，取軋件的四分之一作為研究對(duì)象，為此在軋件的對(duì)稱面添加兩個(gè)正交的對(duì)稱面。三維模型由二維模型擴(kuò)展而得，即先建立xy平面內(nèi)二維模型ABCD，劃分單元后在Z方向擴(kuò)展（Expand）B/2長度即為三維模型。選擇軋件單元為八節(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元QUAD(4)，從材料庫中選取C45做為軋件材料并定義初始溫度條件（Tini＝960℃）。因此需要定義網(wǎng)格重新劃分準(zhǔn)則（Remeshing Criteria），使得在變形體單元發(fā)生畸變時(shí)能及時(shí)調(diào)整以使求解順利進(jìn)行。模型建立及網(wǎng)格劃分完畢之后，在提交求解之前還要定義運(yùn)動(dòng)進(jìn)程。 模型的求解 金屬變形過程的描述對(duì)于連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)方式有兩種描述方法，一種是追隨質(zhì)點(diǎn)來研究的拉格朗日（Lagrange）描述法，一種是著眼于空間固定位置研究的歐拉（Euler）描述法。因此Lagrange描述法多適用于固體力學(xué)問題的求解，而Euler描述法多適用流體力學(xué)問題的求解。首先對(duì)研究質(zhì)點(diǎn)作標(biāo)記，可選擇初始構(gòu)形Ω下質(zhì)點(diǎn)在特定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)X0來表示，Ω記為計(jì)算變形運(yùn)動(dòng)的參考構(gòu)形。在每次增量施加后都將上一次增量結(jié)束時(shí)的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形作為下次增量開始的參考構(gòu)形。 屈服準(zhǔn)則和塑性本構(gòu)關(guān)系屈服準(zhǔn)則是指在載荷作用下，物體內(nèi)某一點(diǎn)開始塑性變形時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)所必須滿足的條件。采用米塞斯屈服準(zhǔn)則，即： （210）式中σσσ3 各向主應(yīng)力；σS 材料屈服應(yīng)力。如載荷（或應(yīng)力）引起新的塑性變形，則稱物體處于加載狀態(tài)，反之則稱物體處于卸載狀態(tài)。塑性本構(gòu)關(guān)系有兩大類，即增量本構(gòu)關(guān)系（流動(dòng)理論）與全量本構(gòu)關(guān)系（形變理論）。Prandtl和Reuss又分別在1924年和1930年提出了考慮彈性變形的塑性流動(dòng)理論，被稱為PrandtlReuss理論。形變理論的優(yōu)點(diǎn)是可以直接建立最終應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系，計(jì)算簡便；缺點(diǎn)是不能反映加載歷史。彈性分量由廣義虎克定律確定： （212）式中dsij 應(yīng)力偏量增量；G 剪切彈性模量。 非線性方程組的建立及求解由于板帶軋制過程為高度非線性問題，因此以增量形式建立節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系： （214）式中K 單元?jiǎng)偠染仃?；du 節(jié)點(diǎn)位移增量；df 節(jié)點(diǎn)力增量。 非線性方程組的求解FδRδ1δ2δi3a. 牛頓－拉斐遜法FδRδ1δ2δib. 改進(jìn)的牛頓－拉斐遜法△1△2△i式（214）、（215）即為熱力耦合彈塑性變形模型的基本物理方程。NewtonRaphson法（）是求解非線性方程組的經(jīng)典方法，也稱切線剛度法。該法在每一步迭代時(shí)都必須計(jì)算新的系數(shù)矩陣并求解新的方程組，工作量非常大。然而其收斂速度也將變慢，但總體來看還是經(jīng)濟(jì)的。Marc/Autoforge豐富的后處理功能可提取軋件各個(gè)位置的各變量的大小，從而進(jìn)行分析。目前所普遍采用的一些數(shù)值計(jì)算方法如影響函數(shù)法、有限元法等已能達(dá)到較高的計(jì)算精度，已完全能滿足工業(yè)應(yīng)用的要求。建立了輥系變形計(jì)算的影響函數(shù)法。最后將全部載荷作用時(shí)在各單元引起的變形疊加，就得出各單元的變形值，從而可以確定變形后的輥縫形狀，亦即軋件的橫斷面形狀。但由于該方法建立在平斷面假設(shè)基礎(chǔ)之上,并且在接觸問題的處理上采用了無限長圓柱體以及半無限體的假設(shè)，在一定程度上降低了求解精度。有限元法直接從彈性力學(xué)的平衡微分方程出發(fā)，采用矩陣結(jié)構(gòu)分析的方法解決問題，在理論上比較嚴(yán)謹(jǐn)。因此很難直接應(yīng)用于工程問題的求解。模型經(jīng)歷我國幾條大型連軋機(jī)組的生產(chǎn)驗(yàn)證，證明了其在工程應(yīng)用上的高效性和可行性。采用三層邊界接觸單元（分別作用于輥間接觸區(qū)的支持輥表面、工作輥表面以及軋制接觸區(qū)的工作輥表面）描述輥間支持輥與工作輥之間、工作輥與軋件之間的接觸壓扁問題。由于軋機(jī)的對(duì)稱性，可以只取支持輥和工作輥上輥?zhàn)鳛檠芯繉?duì)象，采用三角形等參數(shù)單元對(duì)輥系網(wǎng)格進(jìn)行劃分，以相等抗壓變形的矩形截面來等效軋輥邊界實(shí)際為弓形的截面，則三種邊界單元的壓扁等效厚度為： （216） （217） （218） （219）除接觸單元外的實(shí)體單元，只承受彎曲變形，因此以抗彎模量（相對(duì)于軋輥軸心）相等原則將實(shí)際為弓形截面的單元等效為矩形截面。 總體剛度矩陣的建立采用解平面應(yīng)力問題的彈性矩陣，單元的剛度矩陣為： （222）式中E 單元材料楊氏模量；m單元材料泊松比；t單元厚度；D單元面積；bi、ci單元幾何常量。但由此帶來的計(jì)算量是理論計(jì)算和工程應(yīng)用中所無法忍受的。然后利用兩個(gè)模型計(jì)算所得的結(jié)果，提取特征量并以此作為聯(lián)系兩個(gè)模型的橋梁進(jìn)行迭代求解，最終達(dá)到兩個(gè)模型之間的平衡。如何實(shí)現(xiàn)兩個(gè)模型的高效聯(lián)合求解，是要解決的主要任務(wù)。 軋制力及寬展分布軋制力的分布由軋件三維彈塑性模型計(jì)算所得。求得軋制力的這種分布形態(tài)后，代入輥系變形模型即可求得帶鋼軋后橫截面厚度分布。兩個(gè)模型的求解互為條件，兩者之間存在耦合，這就需要通過兩者之間的迭代計(jì)算來協(xié)調(diào)。由圖示可見，軋制力的分布顯然無法用簡單的低次多項(xiàng)式來逼近，而若多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)增多，必然會(huì)增加特征量的數(shù)目，增加迭代計(jì)算難度及計(jì)算時(shí)間。本文在此提出以等效軋制力分布系數(shù)來描述軋制力的分布規(guī)律。軋制力分布系數(shù)Ap表示軋制力分布的中點(diǎn)值與平均值之比： （225）式中為平均軋制力 （226）等效原則遵循兩個(gè)原則，即總軋制力相等以及承載輥縫形狀相等： （227）式中pi 實(shí)際軋制力；pEqi等效軋制力；Cgipi作用下的承載輥縫；CgEqipEqi作用下的承載輥縫；ξ等效變換精度；P總軋制力；B軋件板寬。 Ap的求解軋制力分布系數(shù)Ap的求解采用插值迭代的方法進(jìn)行，具體步驟為： 由（229）式求得對(duì)應(yīng)的軋制力分布形態(tài)pi1，pi2 將軋件三維彈塑性變形模型計(jì)算所得的軋制力分布代入輥系彈性變形模型求得對(duì)應(yīng)的輥縫承載曲線Cgti 若δ1ξ或δ2ξ，則假設(shè)值滿足精度要求，計(jì)算結(jié)束；反之，插值計(jì)算ApAp2： （231）ptpeqCgtCgeqCg, /mm板寬方向坐標(biāo), /mm板寬方向坐標(biāo), /mm。軋制力分布轉(zhuǎn)化為拋物線分布以后，其分布即可簡單的以一個(gè)系數(shù)Ap來表示，以此作為連接兩個(gè)模型的紐帶，可以簡化計(jì)算，為兩個(gè)模型之間的迭代聯(lián)合求解創(chuàng)造條件。利用翹曲的有限元理論來進(jìn)行鋼板的傾斜和垂直翹曲進(jìn)行了分析，首先計(jì)算輥縫內(nèi)部靠近出口附近鋼的橫截面上的應(yīng)力分布；接下來又計(jì)算了輥縫外部靠近出口附近的橫截面上的應(yīng)力分布。帶鋼發(fā)生翹曲的力學(xué)條件： (31)式中帶鋼臨界應(yīng)力；h 帶鋼厚度；B 帶鋼寬度； Ep 彈性模量； νp 泊松比； kcr 帶鋼臨界應(yīng)力系數(shù)。對(duì)帶鋼表面殘余應(yīng)力進(jìn)行測(cè)試分析，帶鋼表面的殘余應(yīng)力不但是平行于軋制方向，而且沿帶鋼寬度方向分布不均勻，同時(shí)上下表面的殘余應(yīng)力也不一致。這種方法增加了后續(xù)加工的負(fù)擔(dān)，增加了工序和成本，從經(jīng)濟(jì)上和效率上來講都是不太合理的。其中導(dǎo)致寬度方向上應(yīng)力不均的一個(gè)機(jī)理是材料的橫截面輪廓在軋輥入口和有載輥縫形狀的不匹配，寬度方向上不同的減薄量會(huì)導(dǎo)致不同的伸長量。引入一個(gè)乘子g，任意應(yīng)力分布Nx(y)可以寫成gNx，當(dāng)g增長，帶鋼發(fā)生翹曲，最小的g值就確定了臨界應(yīng)力水平。計(jì)算結(jié)果表明：板純粹受壓的情況下(k＝1)，結(jié)果再現(xiàn)了自由邊界歐拉翹曲載荷與a/b的平方呈反比變化；簡支邊界時(shí)，當(dāng)a/b＝1并g＝4時(shí)候產(chǎn)生一半波翹曲。一帶鋼中部受壓，邊部受拉的應(yīng)力分布，會(huì)產(chǎn)生中間浪。4 軋輥磨損及熱膨脹計(jì)算軋輥磨損不僅直接惡化了帶鋼的板形質(zhì)量，而且降低了軋機(jī)的板形控制性能。六十年代初，Sachs等測(cè)量了一些生產(chǎn)軋機(jī)的工作輥和支持輥磨損輥形，雖然得出了軋輥的磨損與累積的軋制噸寬比有關(guān)，但并沒有建立軋輥磨損計(jì)算公式。以后的研究基本上是圍繞著氧化鐵皮的形成、熱疲勞的產(chǎn)生來研究的，真正能用于指導(dǎo)生產(chǎn)的不多。根據(jù)仿真計(jì)算結(jié)果，揭示出工作輥服役后期的“箱形”磨損輥形，鋼板寬度及軋制力等對(duì)鋼板凸度的影響關(guān)系，并提出了相應(yīng)的生產(chǎn)中可行的控制措施。其磨損形式主要有： 軋輥在周期性的承載、卸載、加熱、冷卻過程中承受著接觸疲勞和熱疲勞，當(dāng)循環(huán)應(yīng)力超過軋輥材料的疲勞強(qiáng)度時(shí)，表面層將引發(fā)裂紋并逐漸擴(kuò)展，最后使裂紋區(qū)的材料斷裂剝落，即發(fā)生疲勞磨損； 與高溫帶鋼接觸及摩擦使得工作輥表面溫度升高，促使輥面氧化加快，在載荷作用下，氧化層破裂發(fā)生氧化磨損；工作輥的磨損受很多因素影響，主要的影響因素有軋制力、軋制長度、帶寬、軋制材料、潤滑條件等，且有些因素相互影響并具有時(shí)變性。采用切片法，沿工作輥輥身均勻切成一定數(shù)量的小片，計(jì)算各片的磨損量。一個(gè)軋制單位結(jié)束后，工作輥總磨損量為： (42)在不同時(shí)間軋制了不同數(shù)量帶鋼時(shí)工作輥磨損的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的比較如圖所示：由于帶鋼在軋制過程中工作輥的不均勻熱膨脹非常明顯，工作輥的熱膨脹在工作輥的無負(fù)荷輥形計(jì)算中占有相當(dāng)重要的比例。而且由于熱輥形在生產(chǎn)過程中的不斷變化，造成了生產(chǎn)過程的不穩(wěn)定；工廠為了提高軋輥使用效率普遍采用的熱磨輥制度也會(huì)因?yàn)闊彷佇蔚拇嬖趯?dǎo)致輥形的加工誤差。因此，準(zhǔn)確計(jì)算工作輥熱凸度對(duì)于板形控制具有重要的意義。而關(guān)于軋輥溫度場(chǎng)的計(jì)算，根據(jù)不同的研究目的，采取的方法有兩類：一類注重理論研究；另一類著重在線應(yīng)用。后者為一維（二維）差分模型，對(duì)問題進(jìn)行了簡化處理以便在線投入。所以在實(shí)際計(jì)算中需要忽略那些對(duì)工作輥溫度場(chǎng)影響不大的熱交換過程，這樣既能夠保證一定的精度，又大大簡化了模型的計(jì)算。因此可忽略軋輥周向溫度場(chǎng)的變化，將工作輥溫度場(chǎng)簡化為溫度沿軸對(duì)稱分布的圓柱體問題求解。而在計(jì)算速度上是：一維最快，二維其次，三維最慢。因此在這里根據(jù)有限差分基本原理，采用一維有限差分法計(jì)算軋輥溫度場(chǎng)，忽略了周向和徑向方面的傳熱，這樣計(jì)算速度較快，并且能滿足精度的要求。經(jīng)過大量實(shí)測(cè)工作輥下機(jī)輥溫發(fā)現(xiàn)工作輥與帶鋼能接觸到的部位溫度變化大，而在輥身兩邊變化平緩，因此可以將與帶鋼能接觸到的輥身片單元?jiǎng)澐置芤恍?，而兩端包括輥頸部分劃分疏一些。 工作輥溫度場(chǎng)模型劃分由此軋輥溫度場(chǎng)的計(jì)算重點(diǎn)在數(shù)值解析上，根據(jù)向后差分導(dǎo)熱微分方程和能量守衡建立起一維顯式差分格式。其中帶鋼與輥間傳熱等效系數(shù)；空氣等效冷卻系數(shù)；軋輥水冷等效系數(shù)；輥間熱傳導(dǎo)等效系數(shù)；軋制接觸弧長； 第片在時(shí)刻的溫度，℃；第片在時(shí)刻的溫度，℃；第片在時(shí)刻的溫度，℃； 第片在時(shí)刻的溫度，℃；帶鋼的溫度，℃；冷卻液的溫度，℃；—空氣的溫度，℃。同時(shí)還應(yīng)考慮的是帶鋼的軋制節(jié)奏，這里的軋制節(jié)奏定義為： （45）式中每塊鋼的軋制時(shí)間，s；連續(xù)兩塊鋼的間隙時(shí)間，s。實(shí)際所取的各邊界條件考慮了地理位置和四個(gè)季節(jié)變化對(duì)溫度的影響。在用溫度場(chǎng)模型求出各片單元溫度值后，根據(jù)各片單元溫差計(jì)算得到某機(jī)架工作輥的熱輥形： （46）式