【正文】 1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，求以直線OPOP2為漸近線且過點(diǎn)P的離心率為的雙曲線方程 點(diǎn)撥與提示 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線的方程，利用點(diǎn)P在曲線上和△P1OP2的面積建立關(guān)于參數(shù)a、b的兩個(gè)方程，從而求出a、b的值 問題2：圓錐曲線的幾何性質(zhì)由方程來討論其性質(zhì).例2：設(shè)FF2為橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，已知P、FF2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.思路分析：由已知，F(xiàn)1不是直角頂點(diǎn)，所以只要對(duì)P、F2中哪一個(gè)是直角頂點(diǎn)分兩種情況即可.解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，若∠PF2F1為直角，則｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，這時(shí).若∠F2PF1為直角，則｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，這時(shí).解法2：由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x,y)（其中x0,y0），.若∠PF2F1為直角，則P（），這時(shí)｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，∠PF2F1為直角，則由，解得：.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，這時(shí).點(diǎn)評(píng)：由橢圓的方程，熟練準(zhǔn)確地寫出其幾何性質(zhì)（如頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，焦距，離心率，焦半徑等）是應(yīng)對(duì)考試必備的基本功；在解法2中設(shè)出了P點(diǎn)坐標(biāo)的前提下，還可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=aex來求解.演變2：已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點(diǎn)F2，且與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線的左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來，求|F1A||F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 ，將直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立消元，得x1+x2=, x1x2= ─.本題要注意斜率不存在的情況.問題3：有圓錐曲線的定義的問題　　利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.例3：已知某橢圓的焦點(diǎn)F1（－4,0），F(xiàn)2（4,0），過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為B，且2a＝10，橢圓上不同兩點(diǎn)A（x1,y1）,C(x2,y2)滿足條件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).思路分析：因?yàn)橐阎獥l件中涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以可以從橢圓的定義入手.解：（1）由橢圓的定義及已知條件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=.由點(diǎn)B（4，y0）在橢圓上，得｜F2B｜＝｜y0|＝，因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線方程為，有.因?yàn)椋麱2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差數(shù)列，＋，所以：　　x1+x2=8,從而弦AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò).演變3：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1，其右焦點(diǎn)F2和右準(zhǔn)線分別是拋物線的頂點(diǎn)和準(zhǔn)線. ⑴求橢圓C的方程； ⑵若點(diǎn)P為橢圓上C的點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，求點(diǎn)P到x軸的距離； ⑶若點(diǎn)P為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)求點(diǎn)P的取值范圍.點(diǎn)撥與提示：本題主要復(fù)習(xí)圓錐曲線的基本知識(shí)，.問題4：直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題　　利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來求解或證明.例4：拋物線C的方程為，過拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（Ⅲ）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.思路分析：將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用韋達(dá)定理來求解.解：（Ⅰ）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．（Ⅱ）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為．點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將②式代入①式得，于是，故　③又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解．將⑤式代入④式得．于是，故．由已知得，則．　?、拊O(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則．將③式和⑥式代入上式得，即．∴線段的中點(diǎn)在軸上．（Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為．由③式知，代入得．將代入⑥式得，代入得．因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，．于是，．因?yàn)殁g角且、三點(diǎn)互不相同，故必有．求得的取值范圍是或．又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即　　點(diǎn)評(píng)：解析幾何解題思維方法比較簡(jiǎn)單，但對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，平時(shí)練習(xí)要注意提高自己的運(yùn)算能力.演變4. (05年重慶)已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為. (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍.問題5：軌跡問題　　根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.例5. （05年江西）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB. （1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且∠EMF=90176。|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(,0), (1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線AB的方程為：y=k(x─)，由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得|F1A||F1B|。|F1B|=由(1), (2)得：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)|F1A|+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡(jiǎn)得 從而于是. 即當(dāng)時(shí)，△PF1F2為等腰三角形.【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】一選擇題： 1．到兩定點(diǎn)和的距離之和為4的點(diǎn)M的軌跡是：（ ）A、橢圓 B、線段 C、圓 D、以上都不對(duì)2．橢圓上一點(diǎn)P到一焦點(diǎn)距離為7，則P到另一焦點(diǎn)距離為：（ ）A、3 B、5 C、1 D、73．若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則此橢圓的離心率為（ ）A、 B、 C、 D、4．已知方程 表示雙曲線，則的取值范圍是：（ ）A、 B、 C、 D、5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過點(diǎn)F1的弦AB的長(zhǎng)為5，那么△ABF2的周長(zhǎng)是（ ）A、16 B、18 C、21 D、266．雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為，則雙曲線方程為：（ ）A、 B、 C、 D、F2是定點(diǎn)，且|F1F2|=6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=6，則M點(diǎn)的軌跡方程是( )(A)橢圓 (B)直線 (C)圓 (D)線段8. 已知的周長(zhǎng)是16，B, 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是( )(A) (B) (C) (D)9. 如果橢圓上有一點(diǎn)P，那么P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與到左焦點(diǎn)的距離之比是( )。15．方程表示曲線C，給出以下命題：①曲線C不可能是圓。 ③若曲線C為雙曲線，則t1或t4 ④若曲線C為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則1t其中正確的是__________ _______________。 (2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,并且經(jīng)過點(diǎn)(2，1)。 17. 以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，通徑長(zhǎng)為半徑的圓的方程是_ ____________.，則的取值范圍是 .三、解答題19．求下列曲線的的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1) 離心率且橢圓經(jīng)過(2) 漸近線方程是，經(jīng)過點(diǎn)。 (2) (3) 或.17. 18. .k 三、解答題 19．（1）解:由可得b=a,因此設(shè)橢圓方程為(1),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(1)b2=16,(2)b2=19,所求方程是:.（2） 解:設(shè)所求雙曲線方程是,將代入可得,所以,所求雙曲線方程是:.（3） 解：⑴設(shè)雙曲線方程為(λ≠0),∴ ∴ ,∴ 雙曲線方程為。