指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考復(fù)習-在線瀏覽
2025-03-03 01:49本頁面
【正文】 通過平移、對稱變換得到其圖象． ( 2) 一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解． 探究提高 ( 1) 函數(shù) y ＝ ex ＋ e － xe x － e － x 的圖象大致為 ________( 填序號 ) ． 變式訓練 2 y ＝ex＋ e－ xex－ e－ x ＝ 1 ＋2e2 x－ 1，當 x 0 時， e2 x－ 10 ，且隨著 x 的增大而增大，故 y ＝ 1 ＋2e2 x－ 11 且隨著 x 的增大而減小，即函數(shù) y 在 (0 ，＋ ∞ ) 上恒大于 1 且單調(diào)遞減．又函數(shù) y是奇函數(shù)，故 ① 正確． ① ( 2) k 為何值時，方程 |3 x － 1| ＝ k 無解？有一解？有兩解？ 解 函數(shù) y ＝ |3x－ 1| 的圖象是由函數(shù) y ＝ 3x 的圖象向下平移一個單位后，再把位于 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方得到 的，函數(shù)圖象如圖所示． 當 k 0 時，直線 y ＝ k 與函數(shù) y ＝ |3x－ 1| 的圖象無交點，即方程無解；當 k ＝ 0 或 k ≥ 1 時，直線 y ＝ k 與函數(shù) y ＝ |3x－ 1| 的圖象有惟一的交點，所以方程有一解； 當 0 k 1 時，直線 y ＝ k 與函數(shù) y ＝ |3 x － 1| 的圖象有兩個不同交點，所以方程有兩解． 例 3 設(shè) a 0 且 a ≠ 1 ，函數(shù) y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1 在 [ － 1,1] 上的最 大值是 14 ，求 a 的值． 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 換元令 t ＝ a x ，利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)建方程獲解． 解 令 t ＝ a x ( a 0 且 a ≠ 1) ， 則原函數(shù)化為 y ＝ ( t ＋ 1) 2 － 2 ( t 0) ． ① 當 0 a 1 時， x ∈ [ － 1,1 ] ， t ＝ ax ∈??????a ，1a ， 此時 f ( t ) 在??????a ，1a 上為增函數(shù)． 所以 f ( t ) ma x ＝ f??????1a＝??????1a＋ 12－ 2 ＝ 14. 所以??????1a＋ 12＝ 16 ， 所以 a ＝－15或 a ＝13. 又因為 a 0 ，所以 a ＝13. ② 當 a 1 時， x ∈ [ － 1,1 ] ， t ＝ ax∈??????1a， a ， 此時 f ( t ) 在??????1a， a 上是增函數(shù)． 所以 f ( t ) m a x ＝ f ( a ) ＝ ( a ＋ 1)2－ 2 ＝ 14 ， 解得 a ＝ 3( a ＝－ 5 舍去 ) ． 綜上得 a ＝13或 3. 指數(shù)函數(shù)問題一般要與其它函數(shù)復(fù)合．本題可利用換元法將原函數(shù)化為一元二次函數(shù)．結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，從而獲解． 由于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)的大小，所以要注意對底數(shù)的分類討論，避免漏解． 探究提高已知定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) ＝ 2x－12| x | . ( 1) 若 f ( x ) ＝32，求 x 的值； ( 2) 若 2tf (2 t ) ＋ mf ( t ) ≥ 0 對于 t ∈ [ 1,2] 恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍． 變式訓練 3解 ( 1) 當 x 0 時， f ( x ) ＝ 0 ，無解； 當 x ≥ 0 時， f ( x ) ＝ 2x－12x ， 由 2x－12x ＝32，得 2??????1 －2 nm a ( n ∈ N*) ． ② 零指數(shù)冪： a0＝ ( a ≠ 0) ． ③ 負整數(shù)指數(shù)冪： a－ p＝ ( a ≠ 0 ， p ∈ N*) ． 憶 一 憶 知 識 要 點 a a ????? a ( a ≥ 0 )－ a ( a ＜ 0 ) 1ap 1 要點梳理④ 正分數(shù)指數(shù)冪： amn＝ ( a 0 ， m 、 n ∈ N*，且 n 1) ． ⑤ 負分數(shù)指數(shù)冪： a －mn＝ ＝ ( a 0 ， m 、 n ∈ N*，且 n 1) ． ⑥ 0 的正分數(shù)指數(shù)冪為 , 0 的負分數(shù)指數(shù)冪 ． ( 2) 有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) ① asat＝ ( a 0 ， s 、 t ∈ Q) ； ② ( as)t＝ ( a 0 ， s 、 t ∈ Q) ； ③ ( ab )t＝ ( a 0 ， b 0 ， t ∈ Q) ． 憶 一 憶 知 識 要 點 n am 1nam 0 沒有意義 as＋ t ast atbt nma1要點梳理憶 一 憶 知 識 要 點 a 1 0 a 1 圖 象 性 質(zhì) ： 2. 值域： ,即 x= 時 ,y= R上是 函數(shù) 在 R上是 函數(shù) ( , )?? ??(0, )??(0,1) 0 1增 減 y=ax(a0,且 a≠ 1）的性質(zhì)： y x o y=1 (0,1) y x (0,1) y=1 o 當 x0時 , 0y1. 當 x0時 , 0y1. 當 x0時 ,
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