微積分x08-1-2-3一階微分方程-在線瀏覽
2025-03-01 11:26本頁面
【正文】 y d1d 2???兩邊積分得 即 Cxy ?? 12由初始條件得 C = 1, 112 ??xy( 為任意常數(shù) ) 故所求特解為 1)0( ?y例 3：求解微分方程 .2co s2co s yxyxdxdy ????解： ,02co s2co s ????? yxyxdxdy,02si n2si n2 ?? yxdxdy ,2si n2si n2?? ?? dxxydy2c o t2c s clnyy ? ,2co s2 Cx ??2s i n2s i n2c osc os?????? ?????cc t g xxx d x ???? c s clnc s c例 4. 求下述微分方程的通解 : 解 : 令 ,1??? yxu 則 故有 uu 2sin1 ???即 Cxu ??t a n解得 Cxyx ???? )1ta n ( ( C 為任意常數(shù) ) 所求通解 : 例 5. 解法 1 分離變量 Cee xy ??? ?即 01)( ??? yx eCe ( C 0 ) 解法 2 ,yxu ??令故有 ueu ??? 1積分 Cxeu u ???? )1(ln( C 為任意常數(shù) ) 所求通解 : Cyeyx ??? ? )1(lnue ee uuud1 )1(? ? ??例 6. 子的含量 M 成正比 , 求在 衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律 . 解 : 根據(jù)題意 , 有 )0(dd ??? ?? MtM00 MM t ?? (初始條件 ) 對方程分離變量 , ,lnln CtM ??? ?得 即 teCM ???利用初始條件 , 得 0MC ?故所求鈾的變化規(guī)律為 .0 teMM ???M0Mto?然后積分 : ?已知 t = 0 時鈾的含量為 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時未衰變原 例 7： 船從河岸邊 O點(diǎn)出發(fā)駛向?qū)Π叮贋?a船行方向始終與河岸垂直，河寬為 h，河中任一點(diǎn)處水流速與該點(diǎn)到兩岸的距離乘積成正比，求船的航線 解： 設(shè)小船的航行路線為 y=y(x) },),({},{},{ ayhkydtdydtdxvvv yx ?????ayhkydydx )( ??? dyyhkyadx )( ???,)32(32 Cyyhkax ????代入初始條件 y(0)=0,得 C=0， 則所求航線為： )32(32 yyhakx ??例 8. 成正比 , 求 解 : 根據(jù)牛頓第二定律列方程 ?tvm dd00 ??tv初始條件為 對方程分離變量 , ? ?然后積分 : 得 )0( ?? vkgm此處利用初始條件 , 得 )(ln1 gmkC ??代入上式后化簡 , 得特解 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時 ( t = 0 ) 速度為 0, )1(tmkek gmv???mg vk?設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系 . kmgv ?t 足夠大時 例 9 設(shè)曲線 )( xfy ? 過原點(diǎn)及點(diǎn) )3,2( ，且 )( xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與 x 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積是另一條平行線與 y 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積的兩倍，求曲線方程 .x y o )( xfy ?1S2S),( yx解 1S2Sx y o )( xfy ?),( yx12 2 SS ??? x dxxfS 02 )(?????? x dxxfxySxyS 021 )(])([2)( 00 ?? ??? xx dxxfxydxxf,2)(3 0 xydxxfx ?? ? 兩邊同時對 求導(dǎo) yyx ??? 2解得 ,2 cxy ? 因?yàn)榍€ )( xfy ? 過點(diǎn) )3,2(29?? c,292 xy ?? 因?yàn)?)( xf 為單調(diào)函數(shù)所以所求曲線為 .223 xy ?解 例 10 某車間體積為 12022立方米 , 開始時空氣中含有 的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量 , 用一臺風(fēng)量為每秒 2022立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含 的 的新鮮空氣 , 同時以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出 , 問鼓風(fēng)機(jī)開動 6分鐘后 , 車間內(nèi) 的百分比降低到多少 ? 2CO% 2CO2CO2CO%設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動后 時刻 的含量為 2CO )%(txt[ , ]t t t?? 2CO的通入量 2CO 的排出量 20 00 0. 03 ,t? ? ? ?20 00 ( ) ,t x t? ? ? ?2 0 0 0 0 .0 3 2 0 0 0 ( )12022t t x tx ? ? ? ? ? ? ???xt? ??1 ( 0. 03 ) ,6x??),(61 ??? xdtdx),(61 ??? xdtdx , 61 tCex ????,| 0 ??tx? ,?? C , 61 tex ????,05 | 16 ??? ?? ex t6分鐘后 , 車間內(nèi) 的百分比降低到 %.一階齊次方程 )( xyfdxdy ?形如 的微分方程稱為 齊次方程 . ,xyu ?作變量代換 ,xuy ?即代入原式 ,dxduxudxdy ???),( ufdxduxu ??.)( x uufdxdu ??即可分離變量的方程 ?? ?? xdxuuf du )(或?qū)懗升R次方程可以通過 變量代換化成 可分離變量的方程 例 1. 解微分方程 .t a n xyxyy ???解 : ,xyu ?令 ,uxuy ????則 代入原方程得 uuuxu ta n????分離變量 xxuuu ddsi nc o s ?兩邊積分 ?? ? xxuuu ddsi nc o s得 ,lnlns i nln Cxu ?? xCu ?s in即故原方程的通解為 xCxy ?si n( 當(dāng) C = 0 時 , y = 0 也是方程的解 ) ( C 為任意常數(shù) ) 例 2. 解微分方程 解 : ? ? ,2dd 2xyxyxy ??方程變形為 ,xyu ?令 則有 22 uuuxu ????分離變量 xxuu u dd2 ???積分得 ,lnln1ln Cxuu ????? ? x xuuu dd111 ????即代回原變量得通解 即 Cuux ?? )1(yCxyx ?? )(說明 : 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解 , 但在 (C 為任意常數(shù) ) 求解過程中丟失了 . 例 3 方程 2202 ( ) ( ) ( )x y t t y t d t x y x??? ? ????求 y=y(x)?
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