微積分x08-1-2-3一階微分方程-閱讀頁(yè)
2025-01-27 11:26本頁(yè)面
【正文】 解 方程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo) : 222,y x y y x y ?? ? ? ?22 ,x y x y y? ? ? ?21,yyyxx??? ? ? ?????21,y d uu u x u ux d x? ? ? ? ?211dxduxu ??a r c s in l n | |y xCx ??2222yxyxxyydxdy????,1222????????????????xyxyxyxy,xyu ?令.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 4 求解微分方程 解 2212uuuudxduxu????? ,1231223222uuuuuuuuuudxdux??????????xdxduuuuuu ??????)2)(1(1 2,dxduxudxdy ???,lnlnln21)2l n (23)1l n ( Cxuuu ??????.)2(123 Cxuuu ???微分方程的解為 .)2()( 32 xyCyxy ???,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????,代回將 xyu ?例 5 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假若由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn) O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行 求曲線 方程 解： MP/AP = y’ 2239。 例 求下列方程通解 15?????yxyxdxdy令 xyu 1 。 ,)( dxxPydy ??.0)( ?? yxPdxdy 線性非齊次方程的解法 線性非齊次方程的解線性齊次方程的解之間的關(guān)系： ).()( xQyxPdxdy ?? ,)()( dxxPyxQydy ?????? ???兩邊積分 ,)()(ln ?? ?? dxxPdxy xQy),()( xvdxyxQ 為設(shè) ? ,)()(ln ???? dxxPxvy.)()( ??? dxxPxv eey即相比，就是將： )( xuC ??? ? dxxpexu )()(.)(?? ? dxxPCey?常數(shù)變易 (位）法 把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法 ?? ? dxxPexuy )()(,)]()[()( )()( ??????? ?? dxxPdxxP exPxuexuy.)(?? ? dxxPCey齊次方程的通解 變易成 y,y’代入線性非齊次方程得 ,)()( )( CdxexQxu dxxP ??? ?),()( )( xQexu dxxP ??? ?一階線性非齊次微分方程的通解為 : ???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([).()( xQyxPdxdy ??一階線性非齊次微分方程的通解為 : ???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(對(duì)應(yīng)齊次方程通解 非齊次方程特解 ).()( xQyxPdxdy ?? 求解方法 ： 注 :1) 非齊次方程通解 = 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 + 非齊次方程一特解 2） 常數(shù)變易 。 nyxQyxPdxdy )()( ??例 1 解微分方程 : 222 2 。 2x y y x y? ? ?的通解 湊微分法 22y dx x dy x dx y dy? ? ?22( ) ( )d x y d x y??22()x y x y C? ? ?一般解 例 . 求解 解 : 0ddd 2 ??? x xyyxxx即 ? ? ? ? ,0d21d 2 ?? xyx故原方程的通解為 ? ? 021 2 ?? xyx或 Cxyx ??221備用題 解方程 解法 1 積分因子法 . 原方程變形為 故通解為 此外 , y = 0 也是方程的解 . 解法 2 化為齊次方程 . 原方程變形為 積分得 將 xyu ? 代入 , 得通解 此外 , y = 0 也是方程的解 . 解法 3 化為線性方程 . 原方程變形為 其通解為 ?y ?? xxPe d)( ? ?CxexQ xxP ??? d)( d)(即 此外 , y = 0 也是方程的解 . 167。)( xXyyY ????解：切線yyxXY????? 0yyyyxxys??????21 21)(21?? x dxxys 02 )(? ??? x dxxyyy 021)( 2yyy ???? pdydpy ?ycecpdyy111 ???y?xdx ececy 22 ?? ?xe?xyo xP()y y x?1 ( 99 考研 ) .0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy解 ),()4( xPy ?設(shè)代入原方程 ,0??? PPxxCP 1?解線性方程 , 得 兩端積分 ,得 原方程通解為 )()5( xPy ??）（ ?P,1)4( xCy ?即,21 221 CxCy ????? ,??,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????54233251 dxdxdxdxdy ?????例 )()( xPy k ?令 ),( )1()()( ?? nkn yyxfy ?一般情況 (5) 湊導(dǎo)數(shù)法 (恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程 ) 例 1 yy”+(y’)2+2x =0 解： (yy’)’= 2x 降階得： yy’= x2 +C1 ydy=( x2 +C1 )dx .02 的通解求方程 ????? yyy解 將方程寫(xiě)成 ,0)( ??yydxd,1Cyy ??故有 ,1 dxCy dy ?即積分后得通解 .212 CxCy ??例 2 oyx)1,0(A速度 大小為 2v, 方向指向 A , )0,1(?),( yxBtv提示 : 設(shè) t 時(shí)刻 B 位于 ( x, y ), 如圖所示 , 則有 ??y xys x d112?? ???xyt x d1dd 1 2? ? ???去分母后兩邊對(duì) x 求導(dǎo) ytv ??1x?設(shè)物體 A 從點(diǎn) ( 0, 1 )出發(fā) , 以大小為常數(shù) v 例 的速度沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng) , 物體 B 從 (–1, 0 ) 出發(fā) , 試建立物體 B 的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿 足的微分方程及初始條件 . 0121dd 222???? yxyx 其初始條件為 ,01 ???xy 11 ?? ??
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1