【正文】 數(shù) (B)為負(fù)常數(shù) (C)恒為零 (D)不為常數(shù) (4)設(shè) 1 1 11 2 2 2 3 23 3 3, , ,a b ca b ca b c? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?α α α則三條直線 1 1 12 2 23 3 30,0,0a x b y ca x b y ca x b y c? ? ?? ? ?? ? ? (其中 22 0, 1, 2, 3iia b i? ? ? )交于一點(diǎn)的充要條件是 (A) 1 2 3,α α α 線性相關(guān) (B) 1 2 3,α α α 線性無(wú)關(guān) 。 1987 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)當(dāng) x =_____________時(shí) ,函數(shù) 2xyx?? 取得極小值 . (2)由曲線 lnyx? 與兩直線 e1? ? ? 及 0y? 所圍成的平面圖形的面積是 _____________. 1x? (3)與兩直線 1yt?? ? 及 1 2 11 1 1x y z? ? ???都平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程為 _____________. 2zt?? (4) 設(shè) L 為 取 正 向 的 圓 周 229,xy?? 則 曲 線 積 分2( 2 2 ) ( 4 )L x y y dx x x dy? ? ?? = _____________. (5)已知三維向量空間的基底為 1 2 3(1 , 1 , 0) , (1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) ,? ? ?α α α則向量 (2,0,0)?β 在此基底下的坐標(biāo)是 _____________. 二、 (本題滿分 8分 ) 求正的常數(shù) a 與 ,b 使等式 22001lim 1s in xxt dtb x x at? ?? ??成立 . 三、 (本題滿分 7分 ) (1)設(shè) f 、 g 為連續(xù)可微函數(shù) , ( , ) , ( ) ,u f x x y v g x x y? ? ?求 ,.uvxx???? (2)設(shè)矩陣 A 和 B 滿足關(guān)系式 2,?AB = A B 其中 3 0 11 1 0 ,0 1 4?????????A 求矩陣.B 四、 (本題滿分 8分 ) 求微分方程 26 (9 ) 1y y a y??? ?? ?? ? ? ?的通解 ,其中常數(shù) ? 五、選擇題 (本題共 4 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 12 分 .每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)設(shè)2( ) ( )lim 1,()xa f x f axa? ? ???則在 xa? 處 (A) ()fx的導(dǎo)數(shù)存在 ,且 ( ) 0fa? ? (B) ()fx取得極大值 (C) ()fx取得極小值 (D) ()fx的導(dǎo)數(shù)不存在 (2)設(shè) ()fx為已知 連續(xù)函數(shù)0, ( ) ,stI t f tx dx? ? 其中 0, 0,ts??則 I 的值 (A)依賴于 s 和 t (B)依賴于 s 、 t 和 x (C)依賴于 t 、 x ,不依賴于 s (D)依賴于 s ,不依賴于 t (3)設(shè)常數(shù) 0,k? 則級(jí)數(shù)21 ( 1)nn knn????? (A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂 (C)條件收斂 (D)散斂性與 k 的取值有關(guān) (4)設(shè) A 為 n 階方陣，且 A 的行列式 | | 0,a??A 而 *A 是 A 的伴隨矩陣，則 *||A 等于 (A)a (B)1a (C) 1na? (D) na 六、（本題滿分 10分） 求冪級(jí)數(shù) 1112 nnn xn? ???的收斂域，并求其和函數(shù) . 七、（本題 滿分 10分） 求曲面積分 2( 8 1 ) 2 ( 1 ) 4 ,I x y d y d z y d z d x y z d x d y?? ? ? ? ??? 其中 ? 是由曲線 1 1 3()0 z y yfx x? ? ? ? ??? ????繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面 ,其法向量與 y 軸正向的夾角恒大于 .2? 八、（本題滿分 10分） 設(shè)函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 [0,1] 上可微 ,對(duì)于 [0,1] 上的每一個(gè) ,x 函數(shù) ()fx的值都在開區(qū)間 (0,1) 內(nèi) ,且 ()fx? ? 1,證明在 (0,1) 內(nèi)有且僅有一個(gè) ,x 使得( ) .f x x? 九、（本題滿分 8分） 問(wèn) ,ab為何值時(shí) ,現(xiàn)線性方程組 1 2 3 42342 3 41 2 3 402 2 1( 3 ) 23 2 1x x x xx x xx a x x bx x x ax? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 有唯一解 ,無(wú)解 ,有無(wú)窮多解 ?并求出有無(wú)窮多解時(shí)的通解 . 十、填空題 (本題共 3小題 ,每小題 2分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中 ,事件 A 發(fā)生的概率為 ,p 現(xiàn)進(jìn)行 n 次獨(dú)立試驗(yàn) ,則 A 至少發(fā)生一次的概率 為 ____________。而事件 A 至多發(fā)生一次的概率為____________. (2)有兩個(gè)箱子 ,第 1 個(gè)箱子有 3 個(gè)白球 ,2 個(gè)紅球 , 第 2 個(gè)箱子有 4 個(gè)白球 ,4個(gè)紅球 .現(xiàn)從第 1個(gè)箱子中隨機(jī)地取 1個(gè)球放到第 2個(gè)箱子里 ,再?gòu)牡?2 個(gè)箱子中取出 1個(gè)球 ,此球是白球的概率為 2個(gè)箱子中取出的球是白球 ,則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為 ____________. (3)已知連續(xù)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為 2 211( ) e ,xxfx? ? ? ??則 X 的數(shù)學(xué)期望為 ____________,X 的方差為 ____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機(jī)變量 ,XY相互獨(dú)立 ,其概率密度函數(shù)分別為 ()Xfx? 10 01x??其 它 , ()Yfy? e0y? 00yy?? , 求 2Z X Y??的概率密度函數(shù) . 1988 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) (一 )試卷 一、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求冪級(jí)數(shù)1( 3)3 nnnxn???? 的收斂域 . (2)設(shè) 2( ) e , [ ( ) ] 1xf x f x x?? ? ?且 ( 0x? ? ,求 ()x? 及其定義域 . (3) 設(shè) ? 為曲面 2 2 21x y z? ? ?的外側(cè) , 計(jì)算曲面積分3 3 3 .I x d y d z y d z d x z d x d y?? ? ??? 二、填空題 (本題共 4 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 12 分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)若 21( ) lim (1 ) ,txxf t t x????則 ()ft? = _____________. (2)設(shè) ()fx連續(xù)且 3 10 ( ) ,x f t dt x? ??則 (7)f =_____________. (3)設(shè)周期為 2 的周期函數(shù) ,它在區(qū)間 ( 1,1]? 上定義為 ()fx? 22x 1001xx? ? ??? ,則的傅里葉 ()Fourier 級(jí)數(shù)在 1x? 處收斂于 _____________. (4)設(shè) 4 階矩陣 2 3 4 2 3 4[ , , , ] , [ , , , ] ,??A α γ γ γ B β γ γ γ其中 234, , , ,α β γ γ γ 均為 4 維列向量 ,且已知行列式 4, 1,??AB則行列式 ?AB= _____________. 三、選擇題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ,只有一個(gè)符合題目要求 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) ) (1)設(shè) ()fx可導(dǎo)且0 1( ) ,2fx? ?則 0x??時(shí) , ()fx 在 0x 處的微分 dy 是 (A)與 x? 等價(jià)的無(wú)窮小 (B)與 x? 同階的無(wú)窮小 (C)比 x? 低階的無(wú)窮小 (D)比 x? 高階的無(wú)窮小 (2) 設(shè) ()y f x? 是 方 程 2 4 0y y y?? ?? ? ? 的 一 個(gè) 解 且00( ) 0 , ( ) 0 ,f x f x???則函數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 處 (A)取得極大值 (B)取得極小值 (C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 (D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 (3) 設(shè)空間區(qū)域2 2 2 2 2 2 2 212: , 0 , : , 0 , 0 , 0 ,x y z R z x y z R x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則 (A)124xdv dv?????? ??? (B)124ydv ydv?????? ??? (C)124zdv zdv?????? ??? (D)124x y zd v x y zd v?????? ??? (4)設(shè)冪級(jí)數(shù)1 ( 1)nnn ax?? ??在 1x?? 處收斂 ,則此級(jí)數(shù)在 2x? 處 (A)條件收斂 (B)絕對(duì)收斂 (C)發(fā)散 (D)收斂性不能確定 (5)n 維向量組 12, , , (3 )s sn??α α α 線性無(wú)關(guān)的充要條件是 (A)存在一組不全為零的數(shù) 12, , , ,sk k k 使 1 1 2 2 0ssk k k? ? ? ?α α α (B) 12, , , sα α α 中任意兩個(gè)向量均線性無(wú) 關(guān) (C) 12, , , sα α α 中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示 (D) 12, , , sα α α 中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示 四、 (本題滿分 6分 ) 設(shè) ( ) ( ),xyu yf xgyx??其 中 函 數(shù) f 、 g 具 有 二 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) , 求222 .uuxyx x y???? ? ? 五、 (本題滿分 8分 ) 設(shè)函數(shù) ()y y x? 滿足微分方程 3 2 2 e ,xy y y?? ?? ? ?其圖形在點(diǎn) (0,1) 處的切線與曲線 2 1y x x? ? ? 在該點(diǎn)處的切線重合 ,求函數(shù) ( ).y y x? 六、（本題滿分 9分） 設(shè)位于點(diǎn) (0,1) 的質(zhì)點(diǎn) A 對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 的引力大小為2 (0k kr ?為常數(shù) ,r 為 A質(zhì)點(diǎn)與 M 之間的距離 ),質(zhì)點(diǎn) M 沿直線 22y x x??自 (2,0)B 運(yùn)動(dòng)到(0,0),O 求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn) A 對(duì)質(zhì)點(diǎn) M 的引力所作的功 . 七、（本題滿分 6分） 已知 ,?AP BP 其中 1 0 0 1 0 00 0 0 , 2 1 0 ,0 0 1 2 1 1? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?BP求 5,.AA 八、（本題滿分 8分） 已知矩陣 2 0 000101 x?????????A 與2 0 0000 0 1y??????????B 相似 . (1)求 x 與 .y (2)求一個(gè)滿足 1? ?P AP B 的可逆陣 .P 九、（本題滿分 9分） 設(shè)函數(shù) ()fx在區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù) ,且在 (, )ab 內(nèi)有 ( ) 0,fx? ? 證明 :在 (, )ab內(nèi)存在唯一的 ,? 使曲線 ()y f x? 與兩直線 ( ),y f x a???所圍平面圖形面積1S 是曲線 ()y f x? 與兩直線 ( ),y f x b???所圍平面圖形面積 2S 的 3 倍 . 十、填空題 (本題共 3小題 ,每小題 2分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中 ,事件 A 出現(xiàn)的概率相等 ,若已知 A 至少出現(xiàn)一次的概率等于 19,27 則事件 A 在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是 ____________. (2)若在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)任取兩個(gè)數(shù) ,則事件 ”兩數(shù)之和小于 65 ”的概率為____________. (3)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從均值為 10,均方差為 的正態(tài)分布 ,已知 221( ) e , ( 2 . 5 ) 0 . 9 9 3 8 ,2 uxx d u??? ?????? 則 X 落在區(qū)間 (,) 內(nèi)的概率為 ____________. 十一、（本題滿分 6分） 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為21( ) ,(1 )Xfx x?? ?求隨機(jī)變量31YX?? 的概率密度函數(shù) ( ).Yfy 1989 年全國(guó)碩士研究