【正文】 使得；（Ⅱ）存在使得（20）（本題滿分10分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.（22）（本題滿分11分），其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B.（23）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.（24）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為.其中參數(shù)未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.（Ⅰ）求參數(shù)的矩估計量；（Ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由.2007年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內(nèi)）（7） 當(dāng)時，與等價的無窮小量是（B）. （8） 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是： (D).若存在，則 若存在，則.若存在，則存在 若存在，則存在（9） 、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論正確的是：（C ） . （10） 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（B） （11） 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（D） 10 20 30 40（12） 曲線漸近線的條數(shù)為（D） 0 1 2 3（7）設(shè)向量組線性無關(guān)，則下列向量組線相關(guān)的是 (A)（A） (B) (C) (D) （8）設(shè)矩陣，則A與B（B）（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目標(biāo)獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為 (C) (10) 設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示X, Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為 (A)（A） (B)(C) (D)二、填空題：1116小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上（11）.（12）設(shè)函數(shù)，則.（13）設(shè)是二元可微函數(shù)，則.（14）微分方程滿足的特解為.（15）設(shè)距陣則的秩為＿＿1＿＿＿.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù),這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為＿＿. 三、解答題：17－24小題，、證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.【詳解】：（18）（本題滿分11分） 設(shè)二元函數(shù) 計算二重積分其中【詳解】：積分區(qū)域D如圖，不難發(fā)現(xiàn)D分別關(guān)于x軸和y軸對稱，設(shè)是D在第一象限中的部分，即 利用被積函數(shù)無論關(guān)于x軸還是關(guān)于y軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法則可得設(shè)，其中于是 由于，故為計算上的二重積分， ，因而，故令作換元，則，于是且，代入即得綜合以上計算結(jié)果可知（19）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【詳解】：證明：(1)設(shè)在內(nèi)某點同時取得最大值，則，由介值定理，在內(nèi)肯定存在(2)由(1)和羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點＝0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即.（20）（本題滿分10分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.【詳解】：【詳解】：因為方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.當(dāng)時，方程組(3)等價于方程組(1)即此時的公共解為方程組(1)(1)的基礎(chǔ)解系為此時的公共解為：當(dāng)時，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為：（22）（本題滿分11分），其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B.【詳解】：（Ⅰ）可以很容易驗證，于是 于是是矩陣B的特征向量. B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關(guān)系得到，即 ， 所以B的全部特征值為－2，1，1. 前面已經(jīng)求得為B的屬于－2的特征值，而A為實對稱矩陣， 于是根據(jù)B與A的關(guān)系可以知道B也是實對稱矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設(shè)B的屬于1的特征向量為，所以有方程如下： 于是求得B的屬于1的特征向量為因而，矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).（Ⅱ）由有令矩陣，則，所以那么 （23）（本題滿分11分）設(shè)二維隨機變量的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.【詳解】：（Ⅰ），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （Ⅱ） 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 當(dāng)時， 于是（24）（本題滿分11分）設(shè)總體的概率密度為.其中參數(shù)未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.（Ⅰ）求參數(shù)的矩估計量；（Ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由.【詳解】：（Ⅰ）記，則 ， 解出，因此參數(shù)的矩估計量為；（Ⅱ）只須驗證是否為即可，而 ，而 ，于是 因此不是為的無偏估計量.2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、 填空題：1－6小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1）（2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，則（3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(1,2)處的全微分（4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 .（5）設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則_______.（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . [ ]（8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 [ ]（9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. [ ]（10）設(shè)非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（Ａ）. （Ｂ）. （Ｃ）. （Ｄ） [ ]（11）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. [ ]（12）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). [ ]（13）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（Ａ）. （Ｂ）.（Ｃ）. （Ｄ）. ［ ］（14）設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) [ ]三 、解答題：15－23小題，共94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設(shè),求(Ⅰ) ；(Ⅱ) .（16）（本題滿分7分） 計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域.（17）（本題滿分10分） 證明：當(dāng)時，. （18）（本題滿分8分）在坐標(biāo)平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.(Ⅰ) 求的方程；(Ⅱ) 當(dāng)與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值.（19）（本題滿分10分）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).（20）（本題滿分13分）設(shè)4維向量組 ，問為何值時線性相關(guān)?當(dāng)線性相關(guān)時,求其一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.（21）（本題滿分13分）設(shè)3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(Ⅰ)求的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣和對角矩陣,使得；（Ⅲ）求及，其中為3階單位矩陣.（22）（本題滿分13分）設(shè)隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本題滿分13分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單隨機樣本，記為樣本值中小于1的個數(shù).（Ⅰ）求的矩估計；（Ⅱ）求的最大似然估計2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析二、 填空題：1－6小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） 【分析】將其對數(shù)恒等化求解. 【詳解】， 而數(shù)列有界，所以. 故 . （2）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且，則 【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可. 【詳解】由題設(shè)知，兩邊對求導(dǎo)得 ， 兩邊再對求導(dǎo)得 ，又，故 . （3）設(shè)函數(shù)可微,且,則在點(1,2)處的全微分 【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算. 【詳解】方法一：因為， ， 所以 . 方法二：對微分得 ，故 . （4）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2 .【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 于是有 ，而，所以.（5）設(shè)隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度 .則 .【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖： 則 .（6）設(shè)總體的概率密度為為總體的簡單隨機樣本，其樣本方差為，則 【分析】利用樣本方差的性質(zhì)即可. 【詳解】因為 ， 所以 ，又因是的無偏估計量，所以 .二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . [ Ａ ]【分析】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時，故應(yīng)選(Ａ). （8）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D)存在 [ C ] 【分析】從入手計算，利用導(dǎo)數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)定義判定的存在性. 【詳解】由知，.又因為在處連續(xù)，則 . 令，則. 所以存在，故本題選（C）. （9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. [ Ｄ ]【分析】 可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】 由收斂知收斂，所以級數(shù)收斂，故應(yīng)選(Ｄ). 或利用排除法： 取，則可排除選項（Ａ），（Ｂ）； 取，則可排除選項（Ｃ