【正文】 為 ? ???,0 ； 21??xy 的定義域?yàn)?),0( ?? 。 二、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)：形如 )1,0( ??? aaay x 的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)?),( ???? ，其圖形總在 x 軸上方，且過（ 0， 1）點(diǎn)， （ 1） 當(dāng) 1?a 時(shí)， xay? 是單調(diào)增加的； （ 2） 當(dāng) 10 ??a 時(shí)， xay? 是單調(diào)減少的； 以后我們經(jīng)常遇到這樣一個(gè)指數(shù)函數(shù) eey x,? 的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地， xay? 與 xay ?? 關(guān)于 y 軸對稱。 三、 三角函數(shù)與反三角函數(shù) 三角函數(shù) 三角函數(shù)主要是： 正弦函數(shù)： ),(s in ?????? xxy 余弦函數(shù)： ),(c o s ?????? xxy 正切函數(shù)： ??,2,1,02tan ?????? nnxxy ?? 8 余切函數(shù)： ??,2,1,0c o t ????? nnxxy ? 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為 ?2 的周期函 數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為 ?的周期函數(shù)。 反三角函數(shù)： 反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為： 反正弦函數(shù)： ]1,1[s in ??? xxA rcy 反余弦函數(shù)： ]1,1[c o s ??? xxA rcy 反正切函數(shù)： ),(tan ?????? xxA rcy 反余切函數(shù)： ),(c o t ?????? xxA rcy 顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個(gè)單值分支，叫做主值，選法如下： 將 xArcy sin? 限制在 ]2,2[ ??? 上，得一單值函數(shù)，記為 xy arcsin? ，它就是所取主值函數(shù)， ]2,2[ ??? 叫做主值區(qū)間，顯然 2arc sin2 ?? ??? x ， 同理：將 xArcy cos? 限制在 ],0[ ? 上，得 xy arccos? 將 xArcy tan? 限制在 ]2,2[ ??? 上，得 xy arctan? 將 xArcy cot? 限制在 ],0[ ? 上，得 xarcy cot? 從圖中不難看出 xarcsin 和 xarctan 是單調(diào)遞增的， xarccos 和 xarccot 是單調(diào)遞減的。 【例 1】 xy 2sin? 就是 2uy? 和 xu sin? 復(fù)合而成； 2cosxy? 就 是 uy cos? 和 2xu? 復(fù)合而成。 2：復(fù)合可推廣到三個(gè)或更多的函數(shù)上去，如： 2)tan(ln xy ? 就是 xvvuuy ln,tan 2 ??? 復(fù)合成的。 初等函數(shù) 我們把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 【例 2】 xxyxyxyyxy x s i n1 s i n1a rc t a n,)t a n(l n,s i n,21,1 22 ?????????等都是初等函數(shù)。 五、 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù) 雙曲正弦： ),(2 ???????? ? xees hxy xx 雙曲余弦： ),(2 ???????? ? xeec hxy xx 雙曲正切： ),( ???????????? xee eec hxs hxthxyxxxx 反雙曲正弦： ),()1l n( 2 ????????? xxxar s h xy 反雙曲余弦： ),1[)1l n ( 2 ??????? xxxa r c h xy （多值函數(shù) )1ln ( 2 ???? xxy 取“ +”號(hào)為主值） 反雙曲正切： )1,1(11ln21 ?????? xxxar thxy 由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)容就行了，其它的此外不細(xì)講了。 3 數(shù)列的極限 所謂的數(shù)列，通俗地講，就是將一系列的數(shù)排成一列（排）。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第 n 項(xiàng) nx 稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng)。 【例 3】 。1,31,21,1 1 ???????? ??? nn 。,2,6,4,2 ???????? nnn ? 都是數(shù)列，其通項(xiàng)分別為 nnnn n 1,2,)1(,1 1 ?? ? 。如果將 nx 依次在數(shù)軸上描出點(diǎn)的位置，我們能否發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的位置的變化趨勢呢？顯然，???????????? nn 1,21是無限接近于 0 的； ??n2是無限增大的； ? ?1)1( ?? n 的項(xiàng)是在 1 與 1? 兩點(diǎn)跳動(dòng)的，不接近于某一常數(shù)；?????? ?nn 1無限接近常數(shù) 1。 我們 來觀察?????? ?nn 1的情況。例如，取 1001?? ，由1001001111 ?????? nnnn ，即 ???????nn1 從第 101 項(xiàng) 開 始 ， 以 后 的 項(xiàng)??,102103,101102 102101 ?? xx 都滿足不等式 10011 ??nx ，或者說，當(dāng) 100?n 時(shí)，有100111 ???nn。一般地，不論給定的正數(shù) ?多么小，總存在一個(gè)正整數(shù) N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ???? 11nn。這個(gè)數(shù)“ 1”稱為當(dāng) ??n 時(shí)，?????? ?nn 1的極限。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。 證明：對 0??? ，要使得 ?????nnn 111，只須 ?1?n ，所以取 ??????? ?1N，當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ?????nnn 111，所以 11lim ???? nnn。然而，盡管 ? 具有任意性，但一經(jīng)給出，就應(yīng)視為不變。在解題中， N 等于多少關(guān)系不大，重要的是它的存在性，只要存在一個(gè) N ，使得當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ???axn就行了，而不必求最小的 N 。 證明：對 0??? ，因?yàn)??????nnn 111,因?yàn)閚anann an an222222)(1 ?????? （此處不妨設(shè) 0?a ，若 0?a ，顯然有 1lim 22 ???? nann） 所以要使得 ???? 122n an，只須 ??na2 就行了。 注 3：有時(shí)找 N 比較困難，這時(shí)我們可把 axn? 適當(dāng)?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮?。。舴糯蠛笮∮?? ，那么必有 ???axn 。 證明：若 0?q ，結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設(shè) 10 ??q ，對 0??? ，（因?yàn)?? 越小越好，不妨設(shè) 1?? ），要使得 ???? 01nq ，即 ???1nq ，只須兩邊放對數(shù)后， ?lnln)1( ?? qn 成立就行了。 取?????????? qN lnln1 ? ，所以當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ???? 01nq 成立。 13 證明：設(shè) a 和 b 為 nx 的任意兩個(gè)極限，下證 ba? ?，F(xiàn)考慮： ??? 2)()( ???????????? axbxaxbxba nnnn 由于 ba, 均為常數(shù) ba?? ，所以 nx 的極限只能有一個(gè)。 【例 4】證明數(shù)列 1)1( ??? nnx 是發(fā)散的。 定理 2. （有界性）若數(shù)列 nx 收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列 nx ，若 ? 正數(shù) M ，對一切 n ，有 Mxn ? 。 注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。此點(diǎn)希望注意！ 167。此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。 二、當(dāng)自變量 x 的絕對值 x 無限增大，或講趨向無窮大（記 ??x ）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 的變化情況。用數(shù)學(xué)的語言說，即 定義 1：如果對 0??? （不論它多么?。?0??? ，使得對于適合不等式 ???? 00 xx 的一切 x 所對應(yīng)的函數(shù)值 )(xf 滿足： ???Axf )( ，就稱常數(shù) A 為函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限，記為 Axfn ??? )(lim，或 Axf ?)( （當(dāng) 0xx? 時(shí)） 注 1：“ x 與 0x 充分接近”在定義中表現(xiàn)為： 0??? ，有 ???? 00 xx ，即 ),( 0 ??? xUx 。一般地， ? 越小， ? 相應(yīng)地也小一些。 3：幾何解釋：對 0??? ，作兩條平行直線 ?? ???? AyAy , 。當(dāng) ?? ???? 00 xxx ，且 0xx? 時(shí)，有 ?? ???? AxfA )( 。換言之：當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)， ),()( ?AUxf ? 。 【例 2】 證明 )0()(l im00 ????? abaxbaxxx 證明：對 0??? ，要使得 ????????? 000 )()()( xxaxxabaxbax ，只須 axx ??? 0， 所以取 0??a??顯然當(dāng) ??? 0xx 時(shí)，有 ????? )()( 0 baxbax 。 證明：對 0??? ，因?yàn)?,1?a 所以)12(3 13212 13212 22?????????? ???? x xxxxx xx [此處 1?x ，即考慮 10?x 附近的情況，故不妨限制 x 為 110 ??? x ，即 20 ?? x ，1?x ]。取 }3,1min{ ?? ? （從圖形中解釋），當(dāng) ???? 10 x 時(shí)，有 ?????? 3212 122xxx。 （ ii） 若 )0)((0)( ?? xfxf ，必有 )0(0 ?? AA 。取 2A?? ，由定義，對此 0, ???? ，當(dāng) ),( 0 ??? xUx 時(shí)，2)( AAxf ??? ? ，即 0)(232)(220 ????????? xfAAAxfAAA 。 （ ii） (反證法 )若 0?A ，由 (i) 0)( ?? xf 矛盾，所以 0?A 。 注： (i)中的“ ? ”，“ ? ”不能改為“ ? ”，“ ? ”。 在函數(shù)極 限的定義中， x 是既從 0x 的左邊（即從小于 0x 的方向）趨于 0x ，也從 0x 的右邊（即從大于 0x 的方向）趨于 0x 。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點(diǎn)處等等。 [ Axfxx ??? )(lim 00或 Axf ?? )0( 0 ]。 【例 4】 1)s g n (l i m,1)s g n (l i m0000 ??? ???? xx xx，因?yàn)?11?? ，所以 )sgn(lim0 xx?不存在。 解：顯然 11lim)(lim0000 ?? ???? xx xf 1)12(lim)(lim0000 ??? ???? xxf xx 因?yàn)?1)(lim)(lim0000 ?? ???? xfxf xx，所以 1)(lim0 ?? xfx。 注 1：設(shè) )(xf 在 ]),((),[ ba ???? 上有定義，若對 0,0 ???? X? ，當(dāng) )( XxXx ??? 時(shí)，有 ??? Axf )( ， 就 稱 A 為 )(xf 當(dāng) )( ?????? xx 時(shí) 的 極 限 ， 記 為Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng) ???x ）（ Axfx ???? )(lim ，或 Axf ?)( （當(dāng) 17 ???x ））。 3：若 Axfx ??? )(lim，就稱 Ay? 為 )(xfy? 的圖形的水平漸近線（若 Axfx ???? )(lim或Axfx ???? )(lim ，有類似的漸近線）。 證明：對 0??? ，因?yàn)閤x xx x 1s i n0s i n ???，所以要使得 ???0sinxx，只須?? 11 ??? xx，故取 ?1?X ，所以當(dāng) Xx? 時(shí)，有 ???0sinxx，所以0sinlim ??? xxx 。 5 無窮小與無窮大 一、無窮小 若 )(xf 當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的極限為零，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ???x 時(shí)的無窮小，即有 定義 1：對 ,0??? 若 )0(0 ??? X? ，使得當(dāng) )(0 0 Xxxx ???? ? 時(shí)，有 ??)(xf 成立，就稱 )(xf 為當(dāng) )(0 ???? xxx 時(shí)的無窮小，記為 )0)(lim(0)(lim0 ?? ???? xfxf xxx。 2：無窮小不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)特殊的函數(shù)（極限為 0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因?yàn)槿我怀?shù)不可能任意地小，除非是 0 函數(shù)，由此得： 0 是唯一可作為無窮小的常數(shù)。 定理 1：當(dāng)自變量在同一變化過 程 0xx? （或 ??x ）中時(shí)： （ i） 具有極限的函數(shù)等于其極限與一個(gè)無窮小之和，即： A 為 )(xf 的極限 Axf ?? )( 為 18 無窮小。 二、無窮大 若當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí) ??)(xf ，就稱 )(xf 為當(dāng) 0xx? 或 ??x 時(shí)的無窮大。 注 1：同理還有 ?????? )(,)( xfxf 時(shí)的定義。 3：若 ??? )(lim0 xfxx或 ???? )(lim xfx，按通常意義將， )(xf 的極限不存在。 定理 2：當(dāng)自變量在同一變化過程中時(shí)， （ i）若 )(xf 為無窮大，則)(1xf為無窮小。