【正文】 5≤0 ，2 m ＋ 8≤0. 解得 m ≤ － 5. 第 30講 │ 要點探究 解法二：當 x ∈ (1,2) 時，不等式 x2＋ mx ＋ 40 恒成立 ? m － x2－ 4x，當 x ∈ (1,2) 時恒成立 ? m －??????x ＋4x，當 x ∈ (1,2) 時恒成立． 令 g ( x ) ＝－??????x ＋4x， x ∈ (1,2) ， 則 g ( x )m in＝ g (1) ＝－ 5 ， ∴ m ≤ － 5. ? 探究點 3 含有參數(shù)的一元二次不等式的解法 第 30講 │ 要點探究 例 3 解關(guān)于 x 的不等式： ax 2 － (2 a ＋ 1) x ＋ 2 0 . [ 思路 ] 這個不等式的左端可以通過十字相乘的方法分解因式，然后根據(jù) a 0 ， a ＝ 0 ， a 0 的情況和方程 ax2－ (2 a ＋ 1) x ＋ 2＝ 0 兩個根的大小進行分類求解． 第 30講 │ 要點探究 [ 解答 ] 不等式 ax2－ (2 a ＋ 1) x ＋ 2 0 ， 即 ( ax － 1) ( x － 2) 0. ( 1) 當 a 0 時，不等式可以化為??????x －1a( x － 2) 0. ① 若 0 a 12，則1a2 ，此時不等式的解集為??????2 ，1a； ② 若 a ＝12，則不等式為 ( x － 2)20 的解集，不等式的解集為 ? ； ③ 若 a 12，則1a2 ，此時不等式的解集為??????1a， 2 . 第 30講 │ 要點探究 (2) 當 a ＝ 0 時，不等式即－ x ＋ 20 . 此時不等式的解集為 (2 ，＋ ∞) ． (3) 當 a 0 時，不等式可以化為??????x －1a( x － 2)0. 由于1a2 ，故不等式的解集為??????－ ∞ ，1a∪ (2 ，＋ ∞) ． 第 30講 │ 要點探究 綜上所述：當 a 0 時，不等式的解集為??????－ ∞ ，1a∪ (2 ，＋ ∞) ；當 a ＝ 0 時，不等式的解集為 (2 ，＋ ∞) ； 當 0 a 12時，不等式的解集為??????2 ，1a； 當 a ＝12時，不等 式的解集為 ? ； 當 a 12時，不等式的解集為??????1a， 2 . 第 30講 │ 要點探究 [ 點評 ] 本題是由不等式的求解法則而引發(fā)的分類討論 ． 本題的分類首先根據(jù) a 0 ， a ＝ 0 ， a 0 進行一級分類 ， 這個分類標準是根據(jù)不等式的性質(zhì)進行的分類 ； 在第一種情況下 ， 又要根據(jù)方程 ax2－ ( 2 a ＋ 1 ) x ＋ 2 ＝ 0 根的大小 ， 進行二級分類 ， 這個分類標準是根據(jù)不等式的求解法則制定的 ． 在分類討論問題中 ，如果涉及二級分類 ， 要先進行一級分類 ， 再進行二級分類 ， 把問題表述清楚 ， 最后整合結(jié)論時 ， 要根據(jù)情況按照一定的次序進行 ， 如本題中是按照實數(shù) a 從小到大的順序進行表述的 ． 含有參數(shù)的一元二 次不等式在能通過因式分解求出對應(yīng)方程根的情況下 ， 按照本題的方法求解 ， 但如果不能根據(jù)因式分解的方法求出其根 ， 則需要按照不等式對應(yīng)方程根判別式的情況進行分類 ， 看下面的變式 ． 第 30講 │ 要點探究 解關(guān)于 x 的不等式： x 2 － x ＋ a 0 . [ 思路 ] 根據(jù)方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 的判別式，分為方程 x2－ x＋ a ＝ 0 無實根、有一個相等的實根、有兩個不相等的實根，結(jié)合二次函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ x ＋ a 的圖象，寫不等式的解集． 第 30講 │ 要點探究 [ 解答 ] 方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 的判別式 Δ ＝ 1 － 4 a . (1) 當 Δ 0 ，即 a 14時，方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 無實根，此時不等式 x2－ x ＋ a 0 的解集為 R ； (2) 當 Δ ＝ 0 ，即 a ＝14時，方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 有兩個相等的實根 x1＝ x2＝12，此時不等式 x2－ x ＋ a 0 的解集為 ??????－ ∞ ，12∪??????12，＋ ∞ ； 第 30講 │ 要點探究 (3) 當 Δ 0 ，即 a 14時，方程 x2－ x ＋ a ＝ 0 有兩個不相等的實根 x1＝1 － 1 － 4 a2， x2＝1 ＋ 1 － 4 a2， 此時不等式 x2－ x ＋ a 0 的解集為 ????????－ ∞ ，1 － 1 － 4 a2∪????????1 ＋ 1 － 4 a2，＋ ∞ . 綜上所述：當 a 14時，不等式的解集為 R ；當 a ≤14時，不等式的解集是????????－ ∞ ，1 － 1 － 4 a2∪????????1 ＋ 1 － 4 a2，＋ ∞ . ? 探究點 4 一元二次不等式的實際用 第 30講 │ 要點探究 例 4 [ 202280000x－ 200 ＝ 200 ， 當且僅當12x ＝80000x， 即 x ＝ 400 時 ， 才能使每噸的平均處理成本最低 ， 最低成本為 200 元 . 第 30講 │ 要點探究 ( 2 ) 設(shè)該單位每月獲利為 S ， 則 S ＝ 100 x － y ＝ 100 x －??????12x2－ 200 x ＋ 80000 ＝ －12x2＋ 300 x － 80000 ， 若 S 0 ， 則 x2－ 600 x ＋ 1 600000 ， 其判別式 6002－ 4 16000 00 ，該不等式無解 ， 故該單位每月不能獲利 ． 又 S ＝ 100 x － y ＝－12( x － 300 )2－ 3 5000 ， 因為 400 ≤ x ≤ 6 00 ， 所以當 x ＝ 400 時 ， S 有最大值 － 40 000. 故需要國家每月至少補貼 40000 元 ， 才能不虧損 ． 第 30講 │ 要點探究 [ 點評 ] 本題充分反映了不等式在解決實際問題中的作用．解決實際問題的基本方法之一，是建立其函數(shù)模型，根據(jù)一個函數(shù)的變化情況對實際問題作出解釋和結(jié)論，建立的函數(shù)模型有時要根據(jù)不等式進行研究． 第 30講 │ 要點探究 [2022 石家莊二檢 ] 已知函數(shù) f ( x ) 的定義域為 [1 ， ＋ ∞ ) ，且 f (2) ＝ f (4) ＝ 1 ， f ′ ( x ) 為 f ( x ) 的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù) y ＝ f ′ ( x ) 的圖象如圖 31 － 1 所示，則不等式組????? x ≥ 0 ，y ≥ 0 ，f ? 2 x ＋ y ? ≤ 1所表示 的 平 面 區(qū) 域 的 面積 是 （ ） 圖 31－ 1 第 31講 │ 要點探究 A ． 3 B ． 4 C ． 5 D.154 [ 思路 ] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象可以確定函數(shù)f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間 ， 進而確定 2 x ＋ y 的取值范圍 ，這樣不等式組????? x ≥ 0 ，y ≥ 0 ，f ? 2 x ＋ y ? ≤ 1表示一個平面區(qū)域 ， 確定其形狀 ， 求出面積 ． 第 31講 │ 要點探究 A [ 解析 ] 由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得 f ( x ) 的單調(diào)增區(qū)間為 (3 ，＋ ∞ ) ， 單調(diào)減區(qū)間為 (1,3) ．又 f (2) ＝ f (4) ＝ 1 ， f (2 x ＋ y ) ≤ 1 可得 2 ≤ 2 x ＋ y ≤ 4 ，則不等式組????? x ≥ 0 ，y ≥ 0 ，2 ≤ 2 x ＋ y ≤ 4所表示的可行域如圖所示，其面積為12 2 4 －12 1 2 ＝ 3. 正確選項為 A. 第 31講 │ 要點探究 [ 2022 福建卷 ] 設(shè)不等式組????? x ≥ 1 ，x － 2 y ＋ 3 ≥ 0 ，y ≥ x所表示的平面區(qū)域是 Ω1， 平面區(qū)域 Ω2與 Ω1關(guān)于直線 3 x － 4 y－ 9 ＝ 0 對稱 ， 對于 Ω1中的任意點 A 與 Ω2中的任意點 B ， | AB |的最小值等于 ( ) A.285 B ． 4 C.125 D ． 2 第 31講 │ 要點探究 ( 2) 設(shè)實數(shù) x ， y 滿足????? x － y － 2≤ 0 ，x ＋ 2 y － 5 ≥ 0 ，y － 2≤ 0 ，則 u ＝xyx2＋ y2 的最小值是 ( ) A ． 2 B.12 C.103 D.310 第 31講 │ 要點探究 [ 思路 ] (1) 從題目可以看出直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 與區(qū)域 Ω1一定沒有公共點，根據(jù)幾何意義可以想到所求的最小值就是區(qū)域 Ω1中離直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的最近的點到直線距離的 2倍； (2) 變換 u ，可以把其中的yx看作基本量 t ，則 u 就是 t 的函數(shù)，只要確定了 t 的范圍就可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定所求的最小值，而 y ＝tx就是已知區(qū)域內(nèi)的點和坐標原點連線的斜率，根據(jù)這個幾何意義求 t 的取值范圍． 第 31講 │ 要點探究 (1) B (2) D [ 解析 ] (1) 由題意知，所求的 | AB | 的最小值，即為區(qū)域 Ω1中的點到直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點 (1,1) 到直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的距離最小，故 | AB | 的最小值為 2 |3 1 － 4 1 － 9|5＝ 4 ，所以選 B. 第 31講 │ 要點探究 (2) 如圖，實數(shù) x ， y 的區(qū)域是 △ ABC ，其中點 A 的坐標是 (3,1) ，點 C 的坐標是 (1,2) ，故 t ＝y(tǒng)x的取值范圍是??????13， 2 ，故 u＝xyx2＋ y2＝1xy＋yx＝1t ＋1t，該關(guān)于 t 的函數(shù) f ( t ) ＝ t ＋1t在??????13， 1 上單調(diào)遞減，在 [1,2] 上單調(diào)遞增，故其最小值為 1 ＋11＝ 2 ，最大值為兩個端點值中較大的一個，即 3 ＋13＝103，故 u 的取值范圍是??????310，12，即最小值是310. 第 31講 │ 要點探究 畫出不等式組????? x － y ＋ 5≥0 ，x ＋ y ≥0 ，x ≤3表示的平面區(qū)域，并回答下列問題： (1) 指出 x ， y 的取值范圍； (2) 平面區(qū)域內(nèi)有多少個整點？ [ 思路 ] (1 ) 不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分，但要注意是否包含邊界． (2) 整點是指橫、縱坐標均為整數(shù)的點． 第 31講 │ 要點探究 [