【正文】 知終值求現(xiàn)值的計算公式， 年金 前面介紹的終值和現(xiàn)值都是在某一時點發(fā)生的一次性貨幣收付金額，它們可以說是貨幣時間價 值計量的基礎(chǔ)，但在財務(wù)管理實務(wù)中也出現(xiàn)了很多連續(xù)發(fā)生的相等或不相等金額的貨幣收付，我們把在一定期限內(nèi)一系列相等金額的收付款項叫做年金。年金現(xiàn)金流量具有的四個特征是：等額，即現(xiàn)金流量大小相等；定期，即現(xiàn)金流量時間間隔相同；同向，即現(xiàn)金流量方向相同；利率相同，即現(xiàn)金流量持續(xù)期內(nèi)利率保持不變。 按照現(xiàn)金流量發(fā)生的時間起點的不同，年金可分為普通年金、先付年金和遞延年金。普通年金是年金的基礎(chǔ)形式，普通年金以外的各種形式的年金都可以看做是它的轉(zhuǎn)化形式。假設(shè)年金為 A，計息期數(shù)為 n，則普通年金的形式如圖 2 所 示。 圖 3 普通年金終值示意圖 從 圖 3 可知普通年金現(xiàn)金流量的終值就是各期等額現(xiàn)金流量的復(fù)利終值之和， n 期年金終值 為： （ 1） (1)式兩邊同時乘以 (1+i)，可得： （ 2） (2)式 － (1)式，得： 是普通年金現(xiàn)金流 量為 1 元、利率為 i、持續(xù) n 期的年 金終值，又稱年金終值系數(shù)，可 用符號 (F/A， i， n)或者 FVIFAi,n 表示，該系數(shù)可通過查 “ 年金終值系數(shù)表 ”( 見附錄 )取得。根據(jù)普通年金終值的計算公式 推 導(dǎo)可知： 其中， 為年金終值系數(shù)的倒數(shù)，稱為“償債基金系數(shù)”，計作 (A/F，i， n)，它可以把普 通年金終值折算為每年需要支付的金額。 【 例 4】 某企 業(yè) 5 年后有一筆數(shù)額為 100 萬元的到期借款 ，為此設(shè)置償債基金，假設(shè)利率為 8％，企業(yè)每年年末需要存入銀行多少錢，才能到期用本利和償清借款 ? 根據(jù)已知終值求年金的計算公式，得： 因此 ， 在復(fù)利利 率為 8％時，每年需存入 萬元， 5 年后才可 以還清借款。償債基金法下的年折舊額計算，就是根據(jù)償債基金系數(shù)乘以固定資產(chǎn)原值計算出 來的。 圖 4 普通年金現(xiàn)值示意圖 計算普通年金現(xiàn)值的一般公式如下： （ 1） (1)式兩邊同時乘以 (1 + i )，得 （ 2） (2)式 － (1)式，得： 整理得： 其中， 為年金現(xiàn)值系數(shù)，計作 (P/A， i， n)或者 PVIFAi,n，可以通過查 “ 年金現(xiàn)值系 數(shù)表” (見附錄 )得到。 根據(jù)普通年金現(xiàn)值的計算公式 推 導(dǎo)可知： 其中， 是普通年金現(xiàn)值系數(shù)的倒數(shù)，稱為投資回收系數(shù)，計作(A/P， i， n)，其數(shù)值 可以通過“年金現(xiàn)值系數(shù)表”中數(shù)值的倒數(shù)得到，或直接用計算器計算得出。 2．先付年金 先付年金是指在每期期初發(fā)生的等額現(xiàn)金流量，又稱預(yù)付年金或即付年金，如圖 5 所示。 (1)先付年金終值的計算 由于先付年金與普通年金相比只是將各期期 末發(fā)生的現(xiàn)金流量提前到各期期初，因此計算 其終值只要比普通年金終值多計算一個期間的現(xiàn)金流量即可。它與普通年金終值系數(shù)相比，期數(shù)加 1，系數(shù)減 1，可 計作 [(F/A， i， n +1)－ 1]或者 [FVIFAi,n+1－ 1]。 【 例 7】 假設(shè)每年年初等額存 入銀行 10 000 元，存款按復(fù)利利率 8％計息， 6 年后得到本息之和是多少 ？ 在例 3 中 ，普通年金的終值為 73 359 元，則先付年金的 終值為： 或者。將普通年金的現(xiàn)值乘以 (1 + i )，即相當(dāng)于減少了 1 個期間的貼現(xiàn)期。它與普通年金 現(xiàn)值系數(shù)相比，期數(shù)減 1，系數(shù)加 1，可計作 [(P/A， i， n－ 1) + 1]或者 [PVIFAi,n－ 1+1]。 【 例 8】假 設(shè)今后 3 年每年年初 需 要 支付 l 000 元，按復(fù)利利率 8％計算，則相當(dāng)于現(xiàn)在一次性支付多少錢 ? 例 5 中，普通年金的現(xiàn)值為 2 元，則先付 年金的現(xiàn)值為： 或者，根據(jù)先付年金已知年金求終值的計算公式，得： 3．遞延年金 遞延年金是指距現(xiàn)在若干期以后發(fā)生的每期期末發(fā)生的等額現(xiàn)金流量，遞延年金的形式如圖 6 所示。 圖 6 遞延年金示意圖 (1)遞延年金終值的計算 遞延年金的終值計算方法和普通年金終值類似： 式中 n—— 實際發(fā)生年金的期數(shù)。 圖 7 遞延年金現(xiàn)值示意圖 即： 方法二： 假設(shè)遞延期中也進(jìn)行支付，先求出 ( m + n )期的年金現(xiàn)值，然后，扣除實際并未進(jìn)行 支付的遞延期 ( m )的年金現(xiàn)值，即可得出最終結(jié)果， 如 圖 8所示。在實際生活中，無 期限債券、優(yōu)先股股息、獎勵基金等都屬于永續(xù)年金。 永續(xù)年金現(xiàn)值可以通過普通年金現(xiàn)值的計算公式導(dǎo)出，普通年金現(xiàn)值計算公式如下： 當(dāng) n ∞ 時， (1+ i )n 的極限 為 0，故 上式可以寫為： 復(fù)合現(xiàn)金流量的等值運(yùn)算 現(xiàn)實生活中，有時現(xiàn) 金流量的分布形式是復(fù)合形式的，并不呈現(xiàn)嚴(yán)格的規(guī)律性，對這類復(fù)合 現(xiàn)金流量，有時可以視為由幾部分現(xiàn)金流量疊加而成。 【 例 9】 設(shè)有如圖 9 所示的一組現(xiàn)金流量圖，若在復(fù)利 8％的貼現(xiàn)率下，如何計算其現(xiàn)值總額呢 ? 圖 9 現(xiàn)金流量示意圖 方法一： 分別逐項計算單個現(xiàn)金流量的現(xiàn)值，再對各項現(xiàn)值進(jìn)行求和運(yùn)算，如 圖 10 所示，其 計算公式如下： 圖 10 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 方法二： 采用組合的方法將上述現(xiàn)金流量分解為年金組合或與單個現(xiàn)金流量組合的疊加，并求每 組現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。 第一種組合疊加，如圖 11 所示。 圖 12 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 第三種組合疊加，如圖 13 所示。 方法二 通過分解找出