[高考數(shù)學]抽象函數(shù)問題的求解策略-在線瀏覽
2025-02-24 19:45本頁面
【正文】 手段求解，往往會收到事半功倍之功效，同時在運用這些策略時要做到密切配合，相得益彰。 山武補充： 1 抽象函數(shù)常常與周期函數(shù)結(jié)合，如： f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4) 2 解抽象函數(shù)題，通常要用賦值法，而且高考數(shù)學中，常常要先求 F（ 0） F（ 1） 抽象函數(shù)的經(jīng)典題目！??！ 我們把沒有給出具體解析式的函 數(shù)稱為抽象函數(shù)。學生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法談一點粗淺的看法。 例 1 定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f (x + y) = f (x) + f ( y )(x， y∈ R)，當 x0 時， , f (x)0，則函數(shù) f (x)在 [a,b]上 ( ) A 有最小值 f (a) B 有最大值 f (b) C 有最小值 f (b) D 有最大值 f ( ) 分析：許多抽象函數(shù)是由特殊函數(shù)抽象背景而得到的，如正比例函數(shù) f (x)= kx(k≠0)， , , ，可抽象為 f (x + y) = f (x) +f (y)，與此類似的還有 特殊函數(shù) 抽象函數(shù) f (x)= x f (xy) =f (x) f (y) f (x)= f (x+y)= f (x) f (y) f (x)= f (xy) = f (x)+f (y) f (x)= tanx f(x+y)= 此題作為選擇題可采用特殊值函數(shù) f (x)= kx(k≠0) ∵ 當 x 0 時 f (x) 0 即 kx 0。 二．賦值法．根據(jù)所要證明的或求解的問題使自變量取某些特殊值，從而來解決問題。 得 f (x)是一個奇函數(shù)，再令 ，且 。 例 3 已知函數(shù) y = f (x)(x∈ R， x≠0)對任意的非零實數(shù) ， ，恒有 f( )=f( )+f( ), 試判斷 f(x)的奇偶性。 三．利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來解題： 抽象函數(shù)雖然沒有給出具體的解析式，但可利用它的性質(zhì)圖象直接來解題。 定理 2：如果函數(shù) y=f(x)滿足 f(a+x)=f(b+x)，則函數(shù) y=f(x)是一個周期函數(shù)，周期為 ab。 分析：由 f(x)=f(2x)，得 f(x)的圖象關(guān)于 x=1 對稱，又 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對稱，根據(jù)上述條件，可先畫出符合條件的一個圖，那么就可以化無形為有形，化抽象為具體。 由圖可直觀得 T=2,要證其為周期函數(shù)，只需證 f (x) = f (2 + x)。 ∴ f (x)是一個周期函數(shù)。 解： ∵ f (x)是偶函數(shù)， f (1m)f(m) 可得 ， ∴ f(x)在 [0， 2]上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡得 1≤m 。其解法常用“特殊值法 ”，即在其定義域內(nèi)令變量取某特殊值而獲解，關(guān)鍵是抽象問題具體化。 解：由 ， 以 代入，有 ， 為奇函數(shù)且有 又由 故 是周期為 8 的周期函數(shù)， 例 2 已知函數(shù) 對任意實數(shù) 都有 ，且當 時， ，求 在 上的值域。 例 3 已知 是定義在（ ）上的偶函數(shù)，且在（ 0， 1）上為增函數(shù)，滿足 ，試確定 的取值范圍。 （ 1）當 時， ，不等式不成立。 例 4 已知 是定義在 上的減函數(shù)，若 對 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。 例 5 已知函數(shù) 對任意 有 ，當 時， ， ，求不等式 的解集。 四 . 證明某些問 題 例 6 設(shè) 定義在 R 上且對任意的 有 ，求證： 是周期函數(shù)，并找出它的一個周期。 證明： 得 由（ 3）得 由（ 3）和（ 4）得 。 例 7 已知 對一切 ，滿足 ，且當 時， ，求證：（ 1） 時， （ 2） 在 R上為減函數(shù)。 且 ，令 ，得 ， 現(xiàn)設(shè) ，則 ， ， 而 ， 設(shè) 且 ， 則 ， 即 為減函數(shù)。 例 8 設(shè)函數(shù) 定義在 R 上，當 時， ，且對任 意 ，有 ，當 時 。 解：（ 1）令 得 ， 或 。 （ 2）設(shè) ，則 ，由已知得 ，因為 ， ，若 時， ，由 （ 3）由 得 由 得 （ 2）
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