【正文】 ????????????uxaxaxaxxxxx32211033221???（ 4） 1xy?輸出量 （ 5） 由系統(tǒng)微分方程列寫狀態(tài)空間表達式： 將 (4)(5)寫為矩陣形式，得到狀態(tài)空間表達式： uxxxaaaxxx?????????????????????????????????????????????100100010321210321??? （ 6） ? ????????????321001)(xxxty （ 7） ? 系統(tǒng)輸入量引起系統(tǒng)內部的變化 — 狀態(tài)方程 ? 系統(tǒng)內部的變化引起系統(tǒng)輸出量的變化 — 輸出方程 通過以上兩個例子可以看出，用狀態(tài)變量描述一個系統(tǒng)時，把輸入輸出間的關系分為兩段加以描述： 該方法可深入到系統(tǒng)內部，故稱為內部描述法。 0tt?(2)對于一個 不含控制量 u的微分的 n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng) uyayayay nnnn ????? ?? ?? 1)1(1)( （ 1） 由于不含控制量的微分 , 取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為： ??????????? )1(21 nn yxyxyx?? （ 2） 式 (1)的 n階微分方程可寫為 n個 1階微分方程 ???????????????? uxaxaxaxxxxxnnnn 12113221 ?????（ 3） 1xy?輸出量 （ 4） 由系統(tǒng)微分方程列寫狀態(tài)空間表達式： 寫為矩陣形式，得到狀態(tài)方程： （ 5） )()()( tButAXtX ????????????????nxxxtX????? )( 21式中： ?????????????nxxxtX? )( 21??????????????????????? 121100001000010aaaaAnnn??????????????????????????1000?B)()()( tdutCXty ?? （ 6） 輸出方程為： 式中： ? ?0001 ??C 0?d???????)()()()()()(tdutCXtytButAXtX?即 n階單輸入輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為： 狀態(tài)方程 輸出方程 (3)對于一個 含控制量 u的微分的 n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng) ububububyayayay nnnnnnnn ????????? ???? ???? 1)1(1)(01)1(1)( （ 1） 求其狀態(tài)空間表達式 則可以將式 (1)寫為 n個 1階微分方程 ?????????????????????? ububububxaxaxaxxxxxnnnnnnnn ???????1)1(1)(012113221 ??????????? )1(21 nn yxyxyx??分析：如果仍然取狀態(tài)變量為： ? 上述一階微分方程含有控制量的各階微分項，若控制量為階躍函數(shù)，則其微分為脈沖函數(shù)，導致使上述狀態(tài)軌跡產生無窮大的跳躍。 ? 對于上述系統(tǒng)，正確的狀態(tài)變量選擇原則是，狀態(tài)方程中的任何一個微分方程和輸出方程都不能含有控制量的微分項。 解：由運動微分方程可知 3 ,1 ,0 ,3 ,721021 ????? bbbaa取狀態(tài)向量為： ???????uhxxuhyx11201 ?則狀態(tài)方程為： ?????????uhxaxaxuhxx221122121??根據(jù)上面的推導可以計算出 h0,h1,h2 417031010110222011100????????????????hahabhhabhbhuxxxx ?????? ?????????????? ????????? 4173 102121??所以，狀態(tài)方程為： ? ? ????????211 01 xxxy輸出方程為： 三、狀態(tài)空間模型 基本概念 狀態(tài)空間表達式（狀態(tài)方程和輸出方程 ） 由微分方程求狀態(tài)空間表達式 由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量的非唯一性 傳遞矩陣 出發(fā)點： ? 方框圖形象地描述了系統(tǒng)信號流向及各物理量之間地關系，所以很多系統(tǒng)的數(shù)學模型通常由方框圖表示。 ? 對于復雜系統(tǒng)，求取變換傳遞函數(shù)并不是輕而易舉的事。 規(guī)則和步驟： 寫出 各方框單元 的傳遞函數(shù)，并用拉氏反變換求出其微分方程。以各 求和節(jié)點的輸出 為中間變量，寫出狀態(tài)方程 列出各求和節(jié)點方程，在狀態(tài)方程中消去中間變量。 由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達式 ++s1)1(2?ss21?s11?s++U E uFYE fY 1Y 2Y 3例：寫出右圖某順饋控制系統(tǒng)狀態(tài) 空間表達式 fyy ?? 22 2?21)( )(2 ?? ssF sY(2)指定狀態(tài)變量和中間變量，代入微分方程，寫出狀態(tài)方程 11)( )(3 ?? ssF sY fyy ?? 33?ssEsYu1)()(1 ?uey ?1?feyy 2?? ???解 :(1)各方框單元的傳遞函數(shù)和微分方程為 sssEsYf ?? 2 2)( )(35241321yxyxyxyxyx??????狀態(tài)變量X fuee中間變量 55443222122xfxxfxexxexxxuf?????????????狀態(tài)方程 (1) (3)列出各求和節(jié)點方程，在狀態(tài)方程 (1)中消去中間變量 4321153xxyyexxuyyuefu?????????? (2) 求和節(jié)點方程 122 2 3 43 1 54455222xxx x x xx x x ux x fx x f?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?將式 (2)代入式 (1),得到狀態(tài)方程為： ????????????????????????????????????????????fuXX10100100001000002022100010221000010?即 ? ? Xxy 000011 ??輸出方程方程為： 三、狀態(tài)空間模型 基本概念 狀態(tài)空間表達式（狀態(tài)方程和輸出方程 ） 由微分方程求狀態(tài)空間表達式 由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量的非唯一性 傳遞矩陣 LCR圖1 7e i(t) e o (t))( ti例 ：與例 ，選取如下變量為狀態(tài)變量： （ 1） ?????????? dttiCtextRitex)(1)(( t ))()( ( t )0201又因 )()()()(0 tetRidttdiLtei ???（ 4） )()()1()( )( 22121 txCR LtxCR LtxRLte i ???? ?把 (2)(3)代入 (4)得： （ 5） )(1)(1)(1(t ) 212 txRCtxRCtiCx ????所以 （ 3） 則 )]()([1)( 21 txtxRti ?? （ 2） 所以 )()(1)()1((t ) 211 teLRtxRCtxLRRCx i????? （ 6） 狀態(tài)變量的非唯一性 （ 7） 聯(lián)合式 (3)(6)得系統(tǒng)狀態(tài)方程為： )(0)()(1111)()(2121 teLRtxtxRCRCRCLRRCtxtxi?????????????????????????????????????輸出方程為 ? ???????? (t )(t )10)(21xxty （ 8） 與例 )(01)()(011)()(2121 teLtxtxCLLRtxtxi??????????????????????? ??????????? ? ???????? (t )(t )10)(21xxty?????)((t ))( (t )021textix 時得到得狀態(tài)方程和輸出方式比較 ? 上述兩組狀態(tài)變量都能描述該 RLC網絡，因此狀態(tài)變量不是唯一的。即同一系統(tǒng)可以有不同的狀態(tài)空間表達式 假設一個 n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為： ???????)()()()()()(tDUtCXtYtBUtAXtX?設 Q是任意的非奇異 n n階矩陣，并定義： )(~)( ),()(~ 1 tXQtXtQXtX ??? 則式中 DDCQCQBBQA QA??????~~~~11?????????)(~)(~~)()(~)(~~)(~tUDtXCtYtUBtXAtX?那么，若以 )(~tX 為狀態(tài)變量 , 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為： 證明：對 )()(~ tQXtX ? 取導數(shù)，有 )()(~ tXQtX ?? ?將狀態(tài)方程帶入，得到 )(~)(~~ )()(~ )]()([)(~1 tUBtXAtQB UtXQA QtBUtAXQtX????????再根據(jù)輸出方程，可得 )(~)(~~ )()(~)( 1 tUDtXCtDUtXCQtY ???? ??狀態(tài)變量的非唯一性的理論證明 — 狀態(tài)變換 狀態(tài)變換的幾點結論 ? 變換 稱為狀態(tài)變換。 狀態(tài)向量不是唯一的 。 ? 狀態(tài)變換的目的是從不同的角度觀測系統(tǒng)（相當于狀態(tài)空間的坐標系的變換）。 AAtXtX ~ ),(~)( ??三、狀態(tài)空間模型 基本概念 狀態(tài)空間表達式（狀態(tài)方程和輸出方程） 由微分方程求狀態(tài)空間表達式 由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量的非唯一性 傳遞矩陣 對 n階子系統(tǒng)，若輸入為 p維向量為 U(t)， 輸出為 m維向量 Y(t） ,在初始條件為零時，存在 m p維矩陣 G(s),使 （ 1）定義 )()()( sUsGsY ?將上式寫為矩陣形式有： ?????????????????????????????????????????)()()()()()()()()()()()()()()(2121222211121121susususGsGsGsGsGsGsGsGsGsysysypmpmmppm?????????其中 Gij(s)為 yi(s)對 uj(s)的傳遞函數(shù)。 傳遞矩陣 則 G(s)定義為該系統(tǒng)的傳遞矩陣。先建立狀態(tài)空間表達式，然后求出傳