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[工學(xué)]第四章圖形的幾何變換與裁剪-在線瀏覽

2024-11-30 18:19本頁面
  

【正文】 x y x39。 CBA??????????111102010102610???????????100060c o s60s in060s in60c o s????????????111 1 C39。A39。 的結(jié)果 y x A B C A’ B’ C’ 600 20 10 0 10 20 10 20 平移變換矩陣為: T = ,則 [x y 1] = [x+l y+m 1] = [x39。 1] 1 0 00 1 01lm??????????1 0 00 1 01lm?????????? 例如,令 l = 10, m = 10,對(duì)圖中的三角形 ABC作平移變換,得: x y x39。 CBA??????????110201101012610??????????11010010001??????????12030120201362039。B39。 : X軸、 Y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、直線 y = x 和直線 y = – x 。 平面圖形繞任意點(diǎn) P( Xp,Yp)旋轉(zhuǎn) α角 , 需要通過以下幾個(gè)步驟來實(shí)現(xiàn): ① 將旋轉(zhuǎn)中心平移到原點(diǎn),變換矩陣為: 例 1:繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換 4. 二維圖形的級(jí)聯(lián) (組合 )變換 對(duì)于復(fù)雜的圖形變換,需要通過若干個(gè)變換矩陣的級(jí)聯(lián)才能實(shí)現(xiàn)。 T1 = ???????????? 1010001pp yx② 將圖形繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) α 角,變換矩陣為: T2 = ???????????1000c o ss in0s inc o s????③ 將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原點(diǎn)的位置,變換矩陣為: T3 = ??????????1010001pp yx因此,繞任意點(diǎn) P的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為: T = T1 T2 T3 = ???????????? 1010001pp yx ???????????1000c o ss in0s inc o s??????????????1010001pp yx相乘后得: T = ????????????????1)c o s1(s i ns i n)c o s1(0c o ss i n0s i nc o s????????pppp yxyx顯然,當(dāng) xp=0, yp=0時(shí),即為對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換。 x y o x y o x y o 1 0 0 T1 = 0 1 0 C/A 0 1 cosα - sinα 0 T2= sinα cosα 0 0 0 1 y x y o x y o x o 1 0 0 T3 = 0 1 0 0 0 1 cosα sinα 0 T4 = - sinα cosα 0 0 0 1 1 0 0 T5= 0 1 0 - C/A 0 1 組合變換矩陣為 : cos2α sin2α 0 T =T1 T2 T3 T4 T5= sin2α - cos2α 0 (cos2α 1)C/A sin2α *C/A 1 原圖形上的任意一點(diǎn) P(x,y) 對(duì)該直線的對(duì)稱變換都可用下式實(shí)現(xiàn) : [x* y* 1]=[x y 1] h i j [ l m n] 產(chǎn)生沿 x、 y、 z三軸方向上的平移變換。 r [ s ] 產(chǎn)生等比例縮放變換 。 比例變換矩陣為: T = 0000 0 00 0 00 0 0 1aej???????????? 其中 a, e, j分別為沿 x, y, z軸方向的比例因子 。T = [ax ey jz 1] = [x39。 z39。 y39。 1] = [x y z 1] Txoy = [x y –z 1] ⑵ 對(duì) xoz平面的對(duì)稱變換 2. 對(duì)稱變換 變換矩陣為: 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1xo z??????????T變換后點(diǎn)的坐標(biāo): [x39。 z39。 y39。 1] = [x y z 1]Tyoz = [–x y z 1] 上述的對(duì)稱變換結(jié)果如下圖所示。 y39。 1] 由變換結(jié)果看出,一個(gè)坐標(biāo)的變化受另外兩個(gè)坐標(biāo)變化的影響。 y39。 1] ⑵ 沿 x含 z錯(cuò)切 變換矩陣: x (z)1 0 0 00 1 0 0h 0 1 00 0 0 1?????????????T錯(cuò)切變換: [x y z 1]Tx(z) = [x+hz y z 1] = [x39。 z39。 y39。 1] ⑷ 沿 y含 z錯(cuò)切 變換矩陣: ()1 0 0 00 1 0 00 1 00 0 0 1yzi?????????????T錯(cuò)切變換: [x y z 1]Ty(z) = [x y+iz z 1] = [x39。 z39。 y39。 1] ⑹ 沿 z含 y錯(cuò)切 變換矩陣: z(y )1 0 0 00 1 00 0 1 00 0 0 1f?????????????T錯(cuò)切變換: [x y z 1]Tz(y) = [x y z+fy 1] = [x39。 z39。 三維旋轉(zhuǎn)變換要比二維旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜得多,但方法是相似的。 ⑴ 繞 x軸旋轉(zhuǎn) α 角 變換矩陣為: 1 0 0 00 co s s i n 00 s i n co s 00 0 0 1??????????????T4. 旋轉(zhuǎn)變換 ⑵ 繞 y軸旋轉(zhuǎn) β 角 變換矩陣為: co s 0 s i n 00 1 0 0s i n 0 co s 00 0 0 1??????????????T⑶ 繞 z軸旋轉(zhuǎn) γ 角 變換矩陣為: co s s i n 0 0s i n co s 0 00 0 1 00 0 0 1??????????????TZ X Y Z Y X X Z Y 物體分別繞 x(左)、 y(中)、 z(右)軸旋轉(zhuǎn) 90176。 y39。)的變換矩陣為: 1 0 0 00 1 0 00 0 1 01l m n?????????????T 變換后新點(diǎn)的坐標(biāo)為: [x39。 z39。 5. 平移變換 三維圖形變換中要注意的幾個(gè)問題: ,經(jīng)常會(huì)采用 s 來實(shí)現(xiàn)整體的比例變換。 。 在采用右手坐標(biāo)系的情況下,圖形繞坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),轉(zhuǎn)角為正 ( 拇指指向坐標(biāo)軸的方向,其余四指指向旋轉(zhuǎn)方向 ),順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)。特別要注意的是 變換的方法 和 矩陣級(jí)聯(lián)的順序。 如圖所示 , 設(shè)空間一般位置的旋轉(zhuǎn)軸是 AA39。的坐標(biāo)是 (x39。A, z39。軸旋轉(zhuǎn) θ 角到 P39。 y39。), 即: [x39。 z39。一直起作平移變換,使旋轉(zhuǎn)軸 AA39。軸首先繞 X軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α 角,使其與 XOZ平面共面,然后再繞 Y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn) β 角,使其與 Z軸重合,該變換矩陣為: 21 0 0 0 c o s ( ) 0 s in ( ) 00 c o s s in 0 0 1 0 00 s in c o s 0 s in ( ) 0 c o s ( ) 00 0 0 1 0 0 0 1r x yT????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 繞 X軸旋轉(zhuǎn) α 角 繞 Y軸旋轉(zhuǎn) β 角 其中, α 和 β 角可通過旋轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算得到。旋轉(zhuǎn)回到原來的位置,變換矩陣為: 4xc o s ( ) 0 s in ( ) 0 1 0 0 00 1 0 0 0 c o s ( ) s in ( ) 0s in ( ) 0 c o s ( ) 0 0 s in ( ) c o s ( ) 00 0 0 1 0 0 0 1ry????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?T ⑸ 對(duì)步驟⑴作逆變換,將旋轉(zhuǎn)軸平移回到原來的位置,變換矩陣為: ????
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