輸油管線布置的最優(yōu)設(shè)計(jì)-數(shù)模競(jìng)賽優(yōu)秀論-在線瀏覽
2024-08-03 09:33本頁(yè)面
【正文】 管的匯集點(diǎn) ,坐標(biāo)用（ x， y）表示； F1：表示管線與城區(qū)分界線的交點(diǎn)，坐標(biāo)為（ 15， y2）； S： 表示 管線的總長(zhǎng)； 1p ：表示 A 廠 非公用管線 費(fèi)用 ； 2p ：表示公用管線 費(fèi)用 ； 3p ：表示鋪設(shè)在城區(qū)管線 的附加費(fèi)用 ； 4p ：表示 B 廠 非公用管線 費(fèi)用 ； K：表示鐵路線上的車站，坐標(biāo)為 （ xS， 0）。 3 四、 模型的建立與求解 問(wèn)題一： 根據(jù)假設(shè) 1 和 2，以鐵路線 CD 為 X 軸，以煉油廠 A 到 X 軸的垂線作 Y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖 1 所示）： A 煉油廠的坐標(biāo)為（ 0， a）， B 煉油廠的坐標(biāo)為（ l， b）（不妨設(shè) ab）， A、 B 兩廠管道線匯合點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ x， y）， K 表示車站，容易知道，只有在 EK 垂直于 X 軸時(shí) EK 的長(zhǎng)度最短，所以 K的坐標(biāo)為（ x， 0）?，F(xiàn)在以總費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，以 x,y 為決策變量，建立數(shù)學(xué)模型： ? ? ? ? ? ?2 2 22Z S p x a y l x b y y p??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問(wèn)題歸結(jié)為：在指定區(qū)域內(nèi)，當(dāng) x、 y 為何值時(shí) ， Z取得最小值。 根據(jù)本題的求最小值的要求，取 33y a x? ?? 和 3 ()3y b x l? ? ?兩條直線的交點(diǎn)，即： 兩管道線匯合點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ x， y） 是 3 ()333y b x ly a x? ? ? ????? ? ? ??? （ 3） 解得 ： 3 ( )22326a b lxa b ly? ?????? ?? ???? （ 4） 即 管線建設(shè)費(fèi)用最省時(shí)交匯點(diǎn) E 的坐標(biāo)（ x， y） 是關(guān)于 a， b， l 的函數(shù)。 如果 A 、 B 兩廠之間的位置不符合上述條件（ 5），那么 E 的坐標(biāo)需要根據(jù)具體情況確定： ② 若 bal? 33 即 l? 3( )ba? 時(shí) 也就是，兩廠之間的橫向距離很小，而兩廠與鐵路線的距離相差比較大的時(shí)候，比如 133abl???????? 132abl????????……. 通過(guò) lingo 求得 兩管道線匯合點(diǎn) E 的坐標(biāo)近似為 （ 0， 1）。 當(dāng) x=0 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)化為 2 2 2[ ( ) ( ) ]z a y b y l y p? ? ? ? ? ? 通過(guò)分析和計(jì)算，當(dāng) ya? 時(shí)， Z最小， 所以，當(dāng) bal? 33 時(shí)， 兩管道線匯合點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 （ 0， a）。 圖 3 此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)為 2 2 2 2[ ( ) ]z a x l x b p? ? ? ? ?，運(yùn)用求一元函數(shù)極值的方法可以算得，當(dāng) alx ab? ?時(shí) Z最小。 運(yùn)用 Matlab 軟件求 Z關(guān)于 x， y 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，再用 Matlab軟件解方程組（程序見(jiàn)附件 1），得 x、 y 如下： 化簡(jiǎn)后，得 221222221242222 4ppa b lxppa b lypp? ??? ?????? ??? ?? （ 4） ’ 7 可見(jiàn)，在 p1， p2 已確定時(shí)， 管線建設(shè)費(fèi)用最省時(shí)交匯點(diǎn) E 的坐標(biāo)（ x， y） 也僅是關(guān)于 a， b， l 的函數(shù)。 如果 A 、 B 兩廠之間的位置不符合上述條件（ 7），那么 E 的坐標(biāo)還需要根據(jù)具體情況確定 . ② 若 bal? 1t 時(shí) ， x 0? 因此目標(biāo)函數(shù)的最小值只能在 x=0 時(shí)取得， 當(dāng) x=0 時(shí)，在 ya? 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) Z最小。 ③ 若 1ablt? ? 這時(shí) y0， 所以還是在 y=0 時(shí)管道最短，這時(shí)，運(yùn)用求一元函數(shù)極值的方法可以算得，當(dāng) alx ab? ? 時(shí) Z最小。 非共用管線的費(fèi)用 1p 和共用管線費(fèi)用 2p 不相等時(shí)所建立的模型及其結(jié)果，包含了 12pp? 這種模型及其結(jié)果，因而 12pp? 模型是 12pp? 模型的特例， 12pp? 這種模式更具有普遍性 。 介入了一個(gè) 鋪設(shè)在城區(qū)管線 需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用 ，在設(shè)計(jì)方案時(shí)應(yīng)該考慮管線在 B 城區(qū)線路和附加費(fèi)用。得到的估算結(jié)果如下： 本方案 要中 管線布置方案需要 建立模型進(jìn)行優(yōu)化， 相應(yīng)的附加費(fèi)用要針對(duì)三家公司給出的 附加費(fèi)用再一次權(quán)重評(píng)估，設(shè)為 p3萬(wàn)元 /千米 。 公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，資 質(zhì)高說(shuō)明技術(shù)含量高一些，估計(jì)的結(jié)果準(zhǔn)確性更高，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)，也有一定的資質(zhì)，所有三個(gè)公司的賦值比是 7： 3：3，根據(jù)賦值得到 矩陣 ???????????13/77/3117/33/73/71A （ 8） 利用 MATNAB 求解（求解過(guò)程見(jiàn)附件 2）得 最大特征根 ?=， 一致性指 標(biāo)： 3 .0 0 0 3 031CI ???? （ 9） 隨機(jī)一致性指標(biāo) RI= (查表 )，一致性比率 CICR RI? =0/=0； A 的不一致程度在容許范圍內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量，通過(guò)了一致性檢驗(yàn)。在城區(qū)分界線上任取一點(diǎn) F1，其坐標(biāo)表示為（ 15， y2）。 工程咨詢公司 公司一 公司二 公司三 附加費(fèi)用（萬(wàn)元 /千米） 21 24 20 9 圖 4 管線布置模型圖 因此，方案總費(fèi)用由非共用管線 AE、 EF F1B 的費(fèi)用（ AE+EF1+F1B） *p1，共用管線 KE 的費(fèi)用 KE*p2， B 1F 輸油管線的附加費(fèi)用 B 1F *p3三部分組成。利用 LINGO 軟件對(duì)目標(biāo)函數(shù)（ 10）優(yōu)化求解（求解過(guò)程和結(jié)果見(jiàn)附 表 3），所得結(jié)果列于下表 1. 表 1 建設(shè)費(fèi)用最省管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用 （單位：費(fèi)用為萬(wàn)元，長(zhǎng)度為千米） 總方案 車站 K 點(diǎn)坐標(biāo) 交匯 E 點(diǎn)坐標(biāo) 分界點(diǎn) F1坐標(biāo) 總長(zhǎng) 總費(fèi)用 X Y X Y X Y 0 15 共用管 A廠 B 廠 附加費(fèi) 管線長(zhǎng) 管線費(fèi) 管線長(zhǎng) 管線費(fèi) 管線長(zhǎng) 管線費(fèi) 拆遷線長(zhǎng) 費(fèi) 用
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