非線性方程求解算法的程序設(shè)計及比對課程設(shè)計畢業(yè)設(shè)計-在線瀏覽
2024-07-31 22:47本頁面
【正文】 167。 二分法的原理 設(shè)方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)有根 ,二分法就是逐步收縮有根區(qū)間 ,最后得出 ()fb y 中 點11, ( )x f x x a 1x b ()fa ()fx 新 a 1x b 尋找新的根區(qū)間 圖 二分法原理圖 所求的根 ,如上圖所示 ,我們可以寫出一下內(nèi)容 . (1) 輸入有根區(qū)間的端點 ba, 及預(yù)先給定的精度 ? ； (2) 計算 2/)( bax ?? ； (3) 若 0)(*)( ?bfaf ,則 xb? 。 二分法 的 算法 給定區(qū)間 ? ?ba, ,求 0)( ?xf 在該區(qū)間上的根 x . 輸入 : a 和 b。對分次數(shù) k 輸出 : 近似根 x . Step 1 Set k = 0 。 Step 3 Do ； 開始 steps 46 Step 4 (( ) / 2 )x f a b??。 Else Set xa? 。 Step 7 Output the solution of equation: x 。 不動點 迭代法 167。 不動點迭代法的幾何意義 用迭代法 求方程 032 24 ???? xxx 在區(qū)間 ??2,1 內(nèi)的實根 .可以寫出一下下幾種迭代格式 ,用 Mathematica 畫出它們的圖形 ,以此來觀察它們的幾何意義 . 4/121 )23()( xxxx ???? ? 圖 迭代幾何圖 y 4 21 23 xxy ??? x xy ?2 2 1 1 2 2 1 1 5 14)(2 ???? xxx ? 圖 迭代幾何圖 32)( 243 ???? xxxx ? 圖 迭代幾何圖 167。 容許誤差 TOL。 Step 2 While ( k ? Nmax) 。 /* 計算 x */ Step 4 If 0xx? TOL then Output (x)。 Step 5 Set k++。 /* 更新 0x */ Step 7 Output (The method failed after Nmax iterations)。 牛頓迭代法 牛頓迭代法 的 簡介 簡單的迭代法是用直接的方法從原方程中隱含地解出 x ,從而確定出 )(x? .而 牛頓迭代法是用一種間接而特殊的方法來確定 )(x? .牛頓迭代法的基本思想是 ,將非線性方程 0)( ?xf 的求根問題歸結(jié)為計算一系列線性方程的根 . 設(shè) kx 是方程 0)( ?xf 的一個近似根 ,將 )(xf 在 kx 附近作一階泰勒展開 ,則有))(()()( ` kkk xxxfxfxf ??? ,于是方程 0)( ?xf 可近似表示成 . 0))(()( ???? kkk xxxfxf 這是一個線性方程式 ,設(shè) 0)(` ?kxf ,則上式的解為 ?? kxx /)( kxf )(` kxf , ?3,2,1,0?k 取 x 作為原方程的新的近似根 1?kx ,即令 ??? kk xx 1 /)( kxf )(` kxf 則稱 上 式為牛頓迭代公式 . 167。 牛頓迭代法 的算法 從 圖 ,寫出一下牛頓算法 ,并且用 c語言編寫運算程序 . 用 Newton法求 方程 0)( ?xf 一個解 . 輸入 初始值 0x ；誤差容限 TOL；最大迭代次數(shù) m . 輸出 近似解 p 或失敗信息 . Setp 1 00 xp ? . Setp 2 對 mi ,2,1 ?? 做 Setp 34 . Setp 3 )(/)( 000 pfpfpp ??? . Setp 4 若 TO Lpp ?? 0 ,則輸出 )(p ,停機 ,否則 pp ?0 . Setp 5 輸出 (‘ Method failed’ )。 弦截法 167。 弦截法的原理 弦截法 的 幾何意義 （如圖 ） 曲線上兩點 ))(,( 000 xfxP , ,( 11 xP ))( 1xf 的割線來代替曲線 ,然后 用 此 割線與 x軸交點的橫座標作為方程的近似根 2x 再過 P1點和))(,( 222 xfxP 作割線求 出 3x ,再過 P2點和點 ))(,( 333 xfxP 作割線求出 4x ,余此類推 ,當收斂時可求出滿足精度要求的 kx . P1 y=f(x) x0 x2 x3 x1 x* P3 P0 P2 圖 弦截法幾何意義圖 9 ?0)( 0 ?xf ?0)( 1 ?xf ?0)()( 01 ?? xfxf 20211 11 )()()( )( xxxxfxf xfx ???? ?12 ???xx 圖 弦截法程序框架圖 167。最大迭代次數(shù) m. 輸出 近似解 p ,或失敗信息 . Setp 1 00 xp ? 。 輸 入 x0, x1,? ,N 1?k k+1? k x1 ?x0 x2 ?x1 f(x1)?f(x0) f(x2) ?f(x1) 輸出 x2 輸出迭代 失敗標志 結(jié) 束 n kN?
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