非線性方程求解算法的程序設(shè)計(jì)及比對(duì)課程設(shè)計(jì)畢業(yè)設(shè)計(jì)(存儲(chǔ)版)
【正文】 uble x0,x1,h。 h=fabs(x1x0)。 } double js2(double c) { double j。 do { x=x1。 printf(最后結(jié)果 \n)。 scanf(%lf,%lf,amp。 printf(k=%2d , x=% , h=%lf\n,i,x2,h)。 } printf(\nAfter %d repeat, no solved.\n,N)。 /* 弦截法迭代公式 */ if(fabs(x2x1)eps || fabs(f(x2))eps) /*滿足精度要求輸出近似根并退出 */ { h=fabs(x2x1)。 int i。 printf(k=%2d , x1=%lf , f=% , f1=% , h=%lf\n,k,x1,f,f1,h)。 scanf(%lf,amp。 j=pow(x,4)+2*pow(x,2)x3。 x1=jisuan(x0)。 h=sqrt(sqrt(x+4)1)。/* f(x)的結(jié)果 */ if(jisuan(a)*jisuan(x)0) /* 如果 f(a)*f(x)0,則根在區(qū)間的左半部分 */ b=x。 printf(b=)。 C 語(yǔ)言算法比較分析 通過(guò)上一小節(jié)的計(jì)算 ,本節(jié)來(lái)分析分析幾種算法的優(yōu)缺點(diǎn) ,以便以后更好的應(yīng)用到學(xué)習(xí)和工作中 ,做到學(xué)以致用 ,也是這次課題的主旨 ,活學(xué)活用 . 觀察表 25 的計(jì)算結(jié)果 ,可以直觀的看出來(lái) ,牛頓法 ,弦截法 ,不動(dòng)點(diǎn)迭代法的收斂速率差不多 ,但二分法明顯落后前三種收斂速率 ,所以得到 一 下結(jié)論 . ,它 的 具有簡(jiǎn)單和易操作的優(yōu)點(diǎn) ,缺點(diǎn)是收斂較慢 ,且不能求重根 . 牛頓法優(yōu)點(diǎn)：牛頓迭代法具有至少平方收斂的速度 ,所以在迭代過(guò)程中只要迭代幾次就會(huì)得到很精確的解 .這是牛頓迭代法比簡(jiǎn)單迭代法優(yōu)越的地方 .特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)充分靠近精確解時(shí) . 牛頓法的缺點(diǎn) ：選定的初值要接近方程的解 ,否則有可能得不到收斂的結(jié)果 .再者 , 15 牛頓迭代法計(jì)算量比較大 .每次迭代要計(jì)算一次導(dǎo)數(shù)值 )( kxf? ,當(dāng)表達(dá)式 )(xf 復(fù)雜或無(wú)明顯表達(dá)式時(shí)求解困難 .對(duì)重根收斂速度較慢（線性收斂） . 牛頓法是現(xiàn)在最常用的迭代方法 . 3. 弦截法 的收斂階雖然低于 Newton法 ,但是迭代一次只要計(jì)算一次 )( kxf ,不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值 )( kxf? ,所以效率高 ,實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用 . 弦截法比牛頓迭代法收斂速度稍慢 ,但它的計(jì)算量比牛頓迭代法小 ,特別當(dāng)都函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算比較復(fù)雜時(shí) ,弦截法更顯示了它的優(yōu)越性 . 表 25 迭代結(jié)果 迭代次數(shù) 二分法 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 牛頓法 弦截法 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二分法是逐步將含根區(qū)間分半 ,主要用來(lái)求實(shí)根 。 10 qq ? 。 弦截法 的 簡(jiǎn)介 弦截法也稱為 割線法 .如果函數(shù) )(xf 求導(dǎo)困難 ,則割線較切線更為實(shí)用 .牛頓迭代法雖然具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn) ,但每迭代一次都要計(jì)算導(dǎo)數(shù) )(xf? , )(xf 比較復(fù)雜時(shí) ,不僅每次計(jì)算 )(xf? 帶來(lái)很多不便 ,而且還可能十分麻煩 ,如果用不計(jì)算導(dǎo)數(shù)的迭代方法 ,往往只有線性收斂的 速度 .弦截法便是一種不必進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的求根方法 .弦截法在迭代過(guò)程中不僅用到前一步 kx 處的函數(shù)值 ,而且還使用 1?kx 處的函數(shù)值來(lái)構(gòu)造迭代函數(shù) ,這樣能提高迭代的收斂速度 .為避免計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(xf? ,使用差商 )( )()( 1 1? ??? kk kk xx xfxf 替代牛頓公式中的導(dǎo)數(shù) )(xf? ,便得到迭代公式 )()()( )( 111 ??? ???? kkkk kkk xxxfxf xfxx ),2,1( ??k 稱為弦截迭代公式 ,相應(yīng)的迭代法稱為弦截法 . 167。 141 ??? xy y x xy ?2 1 1 2 1 1 2 32 241 ??? xxy xy ?2 2 1 1 x 2 2 4 6 y 6 Step 6 Set xx ?0 。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法的算法 由 不動(dòng)點(diǎn) 迭代法程序框架圖（見(jiàn)附錄 A） 寫出一下迭代算法 給定初始近似值 0x ,求 ? ?xgx? 的解 . 輸入 : 初始近似值 0x 。 Step 5 k++ ； If 0)(* ?afx , Set xb? 。 二分法的簡(jiǎn)介 二分法又稱二分區(qū)間法 ,是求解方程的近似根的一種常用的簡(jiǎn)單方法 . 設(shè)函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù) ,且 0)()( ?? bfaf ,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知 , 0)( ?xf 在 ),( ba 內(nèi)必有實(shí)根 ,稱區(qū)間 ? ?ba, 為有根區(qū)間 .為明確起見(jiàn) ,假定方程0)( ?xf 在區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)有惟一實(shí)根 *x .二分法的基本思想是 : 首先確定有根區(qū)間 ,將區(qū)間二等分 , 通過(guò)判斷 )(xf 的符號(hào) , 逐步將有根區(qū)間縮小 , 直至有根區(qū)間足夠地小 , 便可求出滿足精度要求的近似根 . 167。 弦截法的簡(jiǎn)介 ............................................. 8 167。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法的簡(jiǎn)介 ....................................... 4 167。弦截法 法 。牛頓 迭代 法 。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法 .................................................. 4 167。 弦截法 ........................................................ 8 167。 二分法 167。 Step 3 Do ； 開(kāi)始 steps 46 Step 4 (( ) / 2 )x f a b??。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義 用迭代法 求方程 032 24 ???? xxx 在區(qū)間 ??2,1 內(nèi)的實(shí)根 .可以寫出一下下幾種迭代格式 ,用 Mathematica 畫出它們的圖形 ,以此來(lái)觀察它們的幾何意義 . 4/121 )23()( xxxx ???? ? 圖 迭代幾何圖 y 4 21 23 xxy ??? x xy ?2 2 1 1 2 2 1 1 5 14)(2 ???? xxx ? 圖 迭代幾何圖 32)( 243 ???? xxxx ? 圖 迭代幾何圖 167。
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