非線性方程求解算法的程序設(shè)計(jì)及比對(duì) 課程設(shè)計(jì) 畢業(yè)設(shè)計(jì)-文庫(kù)吧
2025-05-15 22:47 本頁(yè)面
【正文】 中 點(diǎn)11, ( )x f x x a 1x b ()fa ()fx 新 a 1x b 尋找新的根區(qū)間 圖 二分法原理圖 所求的根 ,如上圖所示 ,我們可以寫出一下內(nèi)容 . (1) 輸入有根區(qū)間的端點(diǎn) ba, 及預(yù)先給定的精度 ? ； (2) 計(jì)算 2/)( bax ?? ； (3) 若 0)(*)( ?bfaf ,則 xb? 。否則 xa? ； (4) 若 ???ab ,則輸出方程滿足精度要求的根 x ,計(jì)算結(jié)束； 否則轉(zhuǎn) (2).繼續(xù)執(zhí)行前面的步驟 . 3 y n 圖 二分法的程序框架 圖 167。 二分法 的 算法 給定區(qū)間 ? ?ba, ,求 0)( ?xf 在該區(qū)間上的根 x . 輸入 : a 和 b。 容許誤差 eps。對(duì)分次數(shù) k 輸出 : 近似根 x . Step 1 Set k = 0 。 Step 2 判斷 0)()( ?? bfaf 繼續(xù) .否則 ,STOP 輸出錯(cuò)誤 。 Step 3 Do ； 開(kāi)始 steps 46 Step 4 (( ) / 2 )x f a b??。 Step 5 k++ ； If 0)(* ?afx , Set xb? 。 Else Set xa? 。 Step 6 while(fabs(ba)eps)。 Step 7 Output the solution of equation: x 。 STOP. 開(kāi) 始開(kāi) 始輸 入 a,b,? (a+b)/2?x ?0)()( ?? bfaf x?b x? a |ba| ε0 輸 出 x 結(jié) 束 y n 4 167。 不動(dòng)點(diǎn) 迭代法 167。 不動(dòng)點(diǎn) 迭代 法 的 簡(jiǎn)介 迭代法的基本思想是逐次逼近 ,即首先給出方程的根的一個(gè)近似初始值 ,然后反復(fù)使用迭代公式校正這個(gè)初始值 ,逐步精確化 ,直到滿足預(yù)先給出的精度要求為止 . 首先設(shè)法把方程 0)( ?xf 化為下列等價(jià)形式 ( )(xg 稱為迭代函數(shù) ) )(xgx? (11) 然后按式 (11)構(gòu)造迭代公式 )(1 kk xgx ?? )3,2,1,0( nk ?? (12) 在有根區(qū)間 ? ?ba, 上取一點(diǎn) 0x 作為方程 0)( ?xf 根的初始近似根 ,代入式 （ 12)右端 ,求得 )( 01 xgx ? ,再把 1x 作為預(yù)測(cè)值 ,進(jìn)一步得到 )( 12 xgx ? ,如此反復(fù)進(jìn)行下去 ,得到一個(gè)近似根的序列 ?? , 3210 nxxxxx 如果迭代序列收斂于 *x ,則當(dāng) )(xg 連續(xù)時(shí) ,便是方程 0)( ?xf 的根 . 對(duì)預(yù)先給定的精度要求 0?? ,只要某個(gè) k 是滿足 ??? ?1kk xx ,即可結(jié)束計(jì)算并取 kxx ?* . 167。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法的幾何意義 用迭代法 求方程 032 24 ???? xxx 在區(qū)間 ??2,1 內(nèi)的實(shí)根 .可以寫出一下下幾種迭代格式 ,用 Mathematica 畫出它們的圖形 ,以此來(lái)觀察它們的幾何意義 . 4/121 )23()( xxxx ???? ? 圖 迭代幾何圖 y 4 21 23 xxy ??? x xy ?2 2 1 1 2 2 1 1 5 14)(2 ???? xxx ? 圖 迭代幾何圖 32)( 243 ???? xxxx ? 圖 迭代幾何圖 167。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法的算法 由 不動(dòng)點(diǎn) 迭代法程序框架圖（見(jiàn)附錄 A） 寫出一下迭代算法 給定初始近似值 0x ,求 ? ?xgx? 的解 . 輸入 : 初始近似值 0x 。 容許誤差 TOL。 最大迭代次數(shù) Nmax. 輸出 : 近似解 x 或失敗 信息 . Step 1 Set k = 1。 Step 2 While ( k ? Nmax) 。 do steps 36 Step 3 Set )( 0xgx ? 。 /* 計(jì)算 x */ Step 4 If 0xx? TOL then Output (x)。 /*成功 */ STOP。 Step 5 Set k++。 141 ??? xy y x xy ?2 1 1 2 1 1 2 32 241 ??? xxy xy ?2 2 1 1 x 2 2 4 6 y 6 Step 6 Set xx ?0 。 /* 更新 0x */ Step 7 Output (The method failed after Nmax iterations)。 /*不成功 */ STOP. 167。 牛頓迭代法 牛頓迭代法 的 簡(jiǎn)介 簡(jiǎn)單的迭代法是用直接的方法從原方程中隱含地解出 x ,從而確定出 )(x? .而 牛頓迭代法是用一種間接而特殊的方法來(lái)確定 )(x? .牛頓迭代法的基本思想是 ,將非線性方程 0)( ?xf 的求根問(wèn)題歸結(jié)為計(jì)算一系列線性方程的根 . 設(shè) kx 是方程 0)( ?xf 的一個(gè)近似根 ,將 )(xf 在 kx 附近作一階泰勒展開(kāi) ,則有))(()()( ` kkk xxxfxfxf ??? ,于是方程 0)( ?xf 可近似表示成 . 0))(()( ???? kkk xxxfxf 這是一個(gè)線性方程式 ,設(shè) 0)(` ?kxf ,則上式的解為 ?? kxx /)( kxf )(`
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