【正文】 8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求 1 和 2 相鄰， 3 與 4 相鄰， 5 與 6 相鄰，而 7 與 8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個(gè) .（用數(shù)字作答） 16．是正實(shí)數(shù)，設(shè)是奇函數(shù) }，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)，的元素不超過 2 個(gè)，且有使含 2 個(gè)元素，則的取值范圍是 .三 、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分 .解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 .17．（本小題滿分 12 分）已知三棱錐P— ABC 中， E、 F 分別是 AC、 AB 的中點(diǎn) ,△ ABC，△ PEF 都是正三角形，PF⊥ AB.（Ⅰ）證明 PC⊥平面 PAB； （Ⅱ）求二面角 P— AB— C的平面角的余弦值； （Ⅲ）若點(diǎn) P、 A、 B、 C 在一個(gè)表面積為 12π的球面上，求△ ABC的邊長 .18．（本小題滿分 12 分）如圖，在直徑為 1 的圓 O 中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中（Ⅰ）將十字形的面積表示為的函數(shù)； （Ⅱ）為 何值時(shí)，十字形的面積最大？最大面積是多少？ 19．（本小題滿分 12 分）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列 }滿足，數(shù)列 }滿足（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （Ⅱ）證明 20．（本小題滿分 12 分）工序產(chǎn)品第一工序第二工序甲 乙 概率某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有 A、 B 兩個(gè)等級(jí) .對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為 A 級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品 .（Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為 A 級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn) 出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率 P甲、 P乙； （Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、等級(jí)產(chǎn)品一等二等甲 5（萬元） （萬元）乙 （萬元） （萬元）利潤η分別表示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤，在（ I）的條件下，求ξ、η的分布列及 Eξ、 Eη； （Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示 .該工廠有工人 40 名，可用資 .項(xiàng)目產(chǎn)品工人（名）資金（萬元）甲 88 乙 210金 60 萬元 .設(shè) x、 y 分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)用量品的數(shù)量，在（ II）的條件下， x、 y 為何值時(shí)，最大？最大值是多少？（解答時(shí)須給出圖示 ）21．（本小題滿分 14 分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是 F1（－ c， 0）、F2（ c， 0）， Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn) P 是線段 F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn) T 在線段 F2Q上，并且滿足（Ⅰ）設(shè)為點(diǎn) P的橫坐標(biāo)，證明； （Ⅱ）求點(diǎn) T的軌跡 C的方程； （Ⅲ）試問：在點(diǎn) T 的軌跡 C 上，是否存在點(diǎn) M，使△ F1MF2 的面積 S=若存在，求∠ F1MF2的正切值； 若不存在，請(qǐng)說明理由 .22．（本小題滿分 12 分）函數(shù)在區(qū)間（ 0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且設(shè)是曲線在點(diǎn)（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù)（Ⅰ）用、表示 m； （Ⅱ）證明：當(dāng)； （Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中 a、 b 為實(shí)數(shù)，求 b 的取值范圍及 a與 b所滿足的關(guān)系 .2021年高考數(shù)學(xué)遼寧卷試題及答案參考答案說明： 一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則二、對(duì)解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半； 如果后 繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本 運(yùn) 算 ， 每 小 題 5 分 ， 滿 分 60分 . 二、填空題：本題考查 基本知識(shí) 和基本運(yùn) 算每小 題 4 分 ，滿分 16 分 13 ．－16014． 15． 57616．解： ①是奇函數(shù) }②對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)，的元素不超過 2 個(gè)，且有使含 2 個(gè)元素，也就是說中任意相鄰的兩個(gè)元素之間隔必小于 1，并且中任意相鄰的三個(gè)元素的兩間隔之和必大于等于 1 三、解答題 17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力及運(yùn)用方程解未知量的基本方法，滿分 12 分 .（Ⅰ）證明： 連結(jié) CF.?? 4分（Ⅱ）解法一： 為所求二面角的平面角 .設(shè) AB=a，則 AB=a，則???????? 8分解法二：設(shè) P 在平面 ABC 內(nèi)的射影為 O.≌≌得 PA=PB= O 是△ ABC 的中心 .為所求二面角的平面角 .設(shè) AB=a，則??? 8分（Ⅲ）解法一：設(shè) PA=x，球半徑為 R.，的邊長為 .?? 12 分解法二 ：延長 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直徑 .連結(jié) OA、 AD，可知△ PAD為直角三角形 .設(shè) AB=x，球半徑為 R..?? 12 分 18．本小題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和三角函數(shù)有關(guān)的極值問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的能力 .滿分 12分 .（Ⅰ）解：設(shè) S 為十字形的面積，則?????? 4 分（Ⅱ）解法一： 其中??? 8 分當(dāng)最大 .?? 10 分所以，當(dāng)最大 .S 的最大值為???? 12 分解法二： 因?yàn)樗???????? 8 分令 S′ =0，即可解得??????10 分所以，當(dāng)時(shí)， S 最大， S 的最大值為???? 12 分 19．本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力，滿分 12 分（Ⅰ）證明：當(dāng)因?yàn)?a1=1，所以?????? 2分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（ 1）當(dāng) n=1 時(shí)， b1=，不等式成立，（ 2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，不等式成立，即那么?????? 6分所以，當(dāng) n=k+1 時(shí)，不等也成立根據(jù)（ 1）和（ 2），可知不等式對(duì)任意 n∈ N*都成立???? 8分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以 ????10 分故對(duì)任意??????（ 12 分） 20．（本小題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型以解決實(shí)際問題的能力，滿分 12 分 .（Ⅰ）解：???? 2分（Ⅱ）解：隨機(jī)變量、的分別列是???? 6 分（Ⅲ）解：由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為?? 8 分作出可行域（如圖）： 作直線將 l向右上方平移至 l1 位置時(shí)，直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn) M點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大，此時(shí)???? 10 分取最大值 .解方程組得即時(shí)， z取 最大值， z 的最大值為 .????? 12 分 21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力 .滿分 14 分 .（Ⅰ）證法一：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為由 P在橢圓上，得由，所以????????? 3分證法二：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為由橢圓第二定義得，即由，所以?????????? 3 分（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn) T 的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（， 0）和點(diǎn)（－， 0）在軌跡上 .當(dāng) |時(shí)，由，得 .又，所以 T 為線段 F2Q 的中點(diǎn) .在△ QF1F2 中，所以 有綜上所述，點(diǎn) T的軌