【正文】 ? 。 定理 2 （牛頓 — 萊布尼茲公式）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )(xF 為 )(xf 的一個(gè)原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba ??? 。 分部積分法 — 設(shè) vu, 在 ],[ ba 上連續(xù)可導(dǎo)，則 ?? ?? bababa vd uuvudv。 （ 2） ?? ? baba dxxfkdxxkf )()(。 （ 4） abdxba ???。 推 論 1 設(shè) ))(()( bxaxgxf ??? ，則 ?? ? baba dxxgdxxf )()(。 （ 6）設(shè) )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，且 Mxfm ?? )( ，則 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?。 定積分的特殊性質(zhì) （ 1）對稱區(qū)間上定積分性質(zhì) 1）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，則 ?? ???? aaa dxxfxfdxxf 0 )]()([)(。 3）設(shè) ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ??? ，則 0)( ???aa dxxf。 2） ?? ? TnT dxxfndxxf00 )()(。 9 2）nnn Idxxdxx 2s in2s in 200 ?? ???? 。 4）設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，則 ?? ? ?? ?00 )( s in2)( s in dxxfdxxxf。 【例題 2】計(jì)算 ? ??0 42 s ins in dxxxx。 第一講 極限與連續(xù) 一、定義 函數(shù)的幾個(gè)初等特性 （ 1） 奇偶性 — 設(shè)函數(shù) )(xf 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，若 )()( xfxf ?? ，稱 )(xf 為偶函數(shù)；若 )()( xfxf ??? ，稱 )(xf 為奇函數(shù)。 （ 2）周期性 — 設(shè) )(xf 的定義域?yàn)?D ， 若存在 0?T ，使得對任意的 Dx? ，有 DTx ??且 )()( xfTxf ?? ，稱 )(xf 為周期函數(shù)。 （ 3）單調(diào)性 — 設(shè)對任意的 Dxx ?21, 且 21 xx? ，有 )()( 21 xfxf ? ，稱 )(xf 在 D 上為單調(diào)增函數(shù)，反之稱為單調(diào)減函數(shù)。 極限 （ 1）數(shù)列極限 ( N?? )— 若對任意的 0?? ，總存在 0?N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，有 ??? || Aan 10 成立，稱數(shù)列 }{na 以 A 為極限，記為 Aann ???lim。 （ 3）函數(shù) )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限（ X?? ） — 若對任意的 0?? ，存在 0?X ，當(dāng) Xx ?||時(shí)，有 ??? |)(| Axf 成立，稱 A 為 )(xf 當(dāng) ??x 時(shí)的極限，記為 Axfx ??? )(lim。 【注解】 （ 1）函數(shù)在一點(diǎn)處的極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無定義無關(guān)。 若對 121lim ?? xx e，因?yàn)?0lim 121 ???? xx e， ?????? 121lim xx e，所以極限不存在； 又如xxxf112121)(??? ，顯然 1)00( ??f ， 1)00( ???f ，故 )(lim0 xfx?不存在。 （ 2）無窮小的層次 — 設(shè) 0,0 ?? ?? ，若 0lim ??? ，稱 ? 為 ? 的高階無窮小，記為)(?? o? ；若 0lim ??k?? ，稱 ? 與 ? 為同階無窮小，記為 )(?? O? ，特別地，若 11 1lim ??? ，稱 ? 與 ? 為等價(jià)無窮小，記 為 ??~ 。 2）有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小。 （ 2）等價(jià)無窮小性質(zhì) 1） ??~ ； 2）若 ??~ ，則 ??~ ； 3）若 ???? ~,~ ，則 ??~ ； 4）若 ???? ?? ~,~ 且 A?????lim ，則 A???lim 。 【例題 3】計(jì)算極限)21ln( coslim20 xxxexx ???。 【例題 5】計(jì)算極限 )c o s1s in1(lim2220 xxxx ??。 【例題 7】計(jì)算極限 xx x??0lim。 12 【注解】 )(xf 在 ax? 處連續(xù)的充分必要條件是 )()0()0( afafaf ???? 。 【注解】初等函數(shù)在其定義域上都連續(xù)。 進(jìn)一步地，若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為 )(xf 的可去間斷點(diǎn)； 若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為 )(xf 的跳躍間斷點(diǎn)。 【例題 8】求函數(shù) 1||ln)(2 ?? x xxf的間斷點(diǎn)及類型。 【例題 10】求函數(shù) xxxf tan )1ln()( 2?? 的間斷點(diǎn)及類型。 定理 2（保號(hào)性定理） （ 1）若 )0(0)(lim ???? Axfax，則存在 0?? ，當(dāng) ???? ||0 ax 時(shí)， )0(0)( ??xf 。 （二）極限的存在性質(zhì) 定理 1 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。 情形二：設(shè) }{na 單調(diào)減少，且存在 M ，使得 Man? ，則nn a??lim存在。 【例題 11】計(jì)算 ???????? ???????? nnnnn 22212111lim ?。 三、重要極限與有關(guān)結(jié)論 1sinlim0 ?? xxx。 ex xx ???? )11(lim。 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的四大性質(zhì) 定理 1 （最大值最小值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上取到最小值和最大值。 定理 3 （零點(diǎn)定理） 設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 0)()( ?bfaf ，則存在 ),( ba?? ，使得0)( ??f 。 （ 2）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )()( bfaf ? ，不妨設(shè) )()( bfaf ? ，則對任意的)](),([ bfaf?? ，存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f ，即位于左右端點(diǎn)函數(shù)值之間的任何值函數(shù)都能取到。 【例題 1】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ， 1)1(,0)0( ?? ff ，證明：存在 )1,0(?c ，使得 ccf ??1)( 。 【例題 3】設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對任意的 ],[ baxi ? 及 ),2,1(0 niki ??? 且11 ??? nkk ? ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()( 11 nn xfkxfkf ??? ?? 第二講 一元函數(shù)微分學(xué)基本理論 一、基本概念 導(dǎo)數(shù) — 設(shè) )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若極限 xyx ???? 0lim存在，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可導(dǎo)為 )(xfy? 在 0xx? 處的導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?或0| xxdxdy? 。 若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處的左導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ，若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點(diǎn) 0xx? 處的右導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ， )(xfy? 在點(diǎn) 0xx?處可導(dǎo)的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 （ 3）若 )(xfy? 在 0xx? 處可導(dǎo)，則 )(xfy? 在 0xx? 處連續(xù)，反之不對。 可微 — 設(shè) )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若)( xoxAy ????? ，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可微，記 xAdy ?? ，或者 Adxdy? 。 （ 2） )( 0xfA ?? 。 二、求導(dǎo)數(shù)三大工具 （一）基本公式 0)( ??C 。 aaa xx ln)( ?? ，特別地 xx ee ??)( 。 （ 1） xx cos)(sin ?? ； （ 2） xx sin)(cos ??? ； （ 3） xx 2sec)(tan ?? ； （ 4） xx 2cs c)(co t ??? ； （ 5） xxx tans ec)(s ec ?? ； （ 6） xxx c otc s c)( c s c ??? ； （ 7） )2s in ()( s in )( ?nxx n ?? ； （ 8） )2c o s ()( c o s )( ?nxx n ?? 。 （二）求導(dǎo)四則運(yùn) 算法則 vuvu ?????? )( 。 ukku ???)( 。 （三）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)竭\(yùn)算法則 設(shè) )(ufy? ， )(xu ?? 都是可導(dǎo)函數(shù)，則 )]([ xfy ?? 可導(dǎo)，且 )()]([)()( xxfxufdxdududydxdy ??? ?????????? 。 （ 2）設(shè) )(xf 在 ax? 處連續(xù)，若 Aax xfax ??? )(lim，則??? ?? ? Aaf af )( 0)(。 【例題 1】 設(shè)??? ? ?? ty tx arctan)1ln(，求 dxdy 及22dxyd 。 （四）分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 【例題 1】設(shè)??? ?? ?? 0),1ln( 0,s in)( xxxxxf，求 )(xf? 并討論 )(xf? 的連續(xù)性。 （五）高階導(dǎo)數(shù) 【例題 1】 xexf x sin)( ? ，求 )()( xf n 。 17 第三講 中值定理及應(yīng)用 一、預(yù)備知識(shí) 極值點(diǎn)與極值 — 設(shè)連續(xù) ))(( Dxxfy ?? ，其中 Dx?0 。 函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)情況討論 （ 1）設(shè) 0)( ??af ，即 0)()(lim ???? ax afxfax，由極限的保號(hào)性，存在 0?? ，當(dāng)???? ||0 ax 時(shí)，有 0)()( ???ax afxf 。 顯然 ax? 不是 )(xf 的極值點(diǎn)。 當(dāng) ),( aax ??? 時(shí)， )()( afxf ? ；當(dāng) ),( ??? aax 時(shí)， )()( afxf ? 。 【結(jié)論 1】設(shè)連續(xù)函數(shù) )(xf 在 ax? 處取極值，則 0)( ??af 或 )(af? 不存在。 二、一階中值定理 定理 1（羅爾中值定理）設(shè)函數(shù) )(xf 滿足：（ 1） ],[)( baCxf ? ；（ 2） )(xf 在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)；（ 3） )()( bfaf ? ，則存在 ),( ba?? ，使得 0)( ???f 。 18 【注解】 （ 1）中值定理的等價(jià)形式為： ))(()()( abfafbf ???? ?，其中 ),(a?? ； )) ] (([)()( ababafafbf ?????? ?，其中 10 ??? 。 （ 3）端點(diǎn) ba, 可以是變量，如 ))(()()( axfafxf ???? ?，其中 ? 是介于 a 與 x 之間的x 的函數(shù)。 典型題型 題型一：結(jié)論中含一個(gè)中值 ? ，不含 ba, ，且導(dǎo)出之間差距為一階 【例題 1】設(shè) ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， 0)()( ?? bfaf ，證明：存在 ),( ba?? ，使得 0)()( ??? ?? ff 。 題型二：關(guān)于微分中值定理的慣性思維題 【注解】對可導(dǎo)函數(shù)來說，若所研究問題中涉及三個(gè)或三個(gè)以上點(diǎn)時(shí)，最可能使用的工具就是拉格朗日中值定理 【例題 1】設(shè) ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)， )()( bfaf ? ，且 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)不為常數(shù)，證明：存在 ),(, ba??? ，使得 0)(,0)( ???? ?? ff 。 19 三、高階中值定理 — 泰勒中值定理 背景：求極限30 sinlim x xxx ??。 特別地，若 00?x ，則稱 )(! )0()(!2 )0()0()0()( )(20 xRxnfxxfffxf nnn ?????????? ?， 為馬克勞林公式，其中 )10()!1( )()( 1)1( ???? ?? ?? nnn xn xfxR。 )()!12( )1(!3s in 12123 ?? ??????? nnn xoxnxxx ?。 )(11 1 nn xoxxx ?????? ?。 )()1(2)1ln ( 12 nnn xoxnxxx ??????? ??。 20 題型四：泰勒中值定理的常規(guī)應(yīng)用 【例題 1】設(shè) ]1,0[)( Cxf ? ，在 )1,0( 內(nèi)可導(dǎo)，且 0)1()0( ?? ff ， 1)(min10 ???? xfx，證明：存在 )1,0(?? ，使得 8)( ??? ?f 。 定義 2 逆序數(shù) — 設(shè) niii ?21 是 n,2,1 ? 的一個(gè)排列，該排列所含的逆序總數(shù)稱為該排