【正文】 ? ? 1n 2n ? ? 1n 2n 21 22 ? ? A B C D l x y z A B O A1 B1 O1 H1 H A z y D B S 7 圖建立空間直角坐 標(biāo)系，則， ? ?0,0,0 ,A ? ?0,1,0 ,B ? ? 11,1, 0 , , 0 , 02CD?????? ∴ 11( SA ( 0 , 0 , ) , ( 0 , 1 , )22SB? ? ? ?, )21,1,1(),21,0,21( ???? SCSD 然平面 SBA 的一個(gè)法向量為 ? ?n 1,0,0? ， 設(shè)平面 SCD 的一個(gè)法向量為 ? ?2 ,n x y z? ，則 2n ? 平面 SCD , 2220 0 2 , ( 2 1 2)2 2 00n SD xz z n , ,x y zn SC? ?? ???? ? ? ? ???? ? ??? ??? 取 則 則3231 21||||,c os 21 2121 ???????? nn nnnn . 用具體的例子來看法向量的應(yīng)用 【 例 5】 (2021 年高考全國卷 Ⅱ 理科 19 題 ) 如圖，在四棱錐 SABCD 中，底面 ABCD 為正方形，側(cè)棱 SD⊥ 底面 ABCD， E、 F 分別是 AB、 SC 的中點(diǎn) (1)求證： EF∥ 平面 SAD。 ， 2, 2 2AB BC??， SB?? (1) 證明： SA BC? ； (2) 求直線 SD 與平面 SAB 所成角的大小 . (3) 求異面直線 DC 、 SA 的距離 . zyxEABDCS 解 ： (1)作 AE BC? 于 E 點(diǎn) ,則 c o s 2 c o s 4 5 2A E B E A B A B E? ? ? ? ? ? ? 又 22BC? ∴ 12BE BC? , 即 E 點(diǎn)是 BC 的中點(diǎn) . 又 ∵ SEA SB? ?? ， ∴ 90SEB SEA? ? ? ?, 10 即 SE 是 BC 的中垂線 . 又 ∵ 側(cè)面 SBC? 底面 ABCD ∴ SE? 面 AC (2) 以 E 為原點(diǎn) , 分別以向量 ,EA EB ES 的正方向?yàn)?x 軸、 y 軸、 z軸的非負(fù)半軸 ,建立空間直角坐標(biāo)系 , 如圖 4 所示 .容易求得 SE=1, 于是 A ( 2 , 0 ,0 ),B (0 , 2 , 0 ),C ( 0, 2 ,0) ,D ( 2 , 2 2 ,0) ,S(0,0,1) ,E (0,0,0) . 設(shè)平面 SAB 的法向量 ( , , ),n x y z? ∵ ( 2,0, 1)SA ??, SB=(0, 2,1) ∴ 2 02 0n S A x zn S B y z? ? ? ???? ? ??? 令 2z? ,得 (1,1, 2)n? 又 ∵ ( 2 , 2 2 , 1)SD ? ? ? 設(shè)直線 SD 與平面 SAB 所成的角為 ? ,則 2 2 22sin1111 4SD nSD n??? ? ??? ∴ 22arcsin 11? ? (3) ∵ DC ∥ AB ∴ DC ∥ 平面 SAB 設(shè)異面直線 DC 、 SA 的距離為 d ( 即 D 點(diǎn)到平面 SAB 的距離 ) ,則 S D n 22 22nd?? ? ? . 用具體例子說明向量與平行有關(guān)的探索性問題 【 例 7】 如圖，在棱長為 1 的正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，點(diǎn) E 是棱 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是棱 CD 上的動(dòng)點(diǎn) .試確定點(diǎn) F 的位置，使得 11 11D E AB F? 平 面 ； 解：以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DF x? ，則 ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ,A B D? ? ? ?11, 0 ,1 , 1 0 ,1 ,AB ? ?1 10 ,1,1 , 1, , 0 ,2DE??????? ? 1 1, 1 , 0 1 , , 1 ,2F x D E ??? ? ?????? ? ? ?1 1 , 0 , 1 , , 1 , 0A B A F x?? 11 1 1 0D E AB? ? ? ? ?11,D E AB?即 1 1 1D E A B F D E A F? ? ?于 是 平 面 1 10 0 .2D E A F x? ? ? ? ? ??即11 .F CD D E A B F?故 當(dāng) 點(diǎn) 是 的 中 點(diǎn) 時(shí) ， 平 面 用具體例子說明向量與角有關(guān)的探索性問題 【 例 8】 在三棱錐 A BCD? 中，側(cè)面 ABD 、 ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜邊，且 3,AD? CD??另一個(gè)側(cè)面 ABC 是正三角形，在線段 AC 上是否存在一點(diǎn) E ，使 ED 與面 BCD 成 30 角？若存在，確定點(diǎn) E 的位置；若不存在，說明理由 . 解：作 AH ⊥ 面 BCD 于 H ，連 BH 、 CH 、 DH ，則四邊形 BHCD 是正方形，且 1AH? ，以 D 為原點(diǎn)，以 BD 為 x 軸， DC 為 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，則 ? ? ? ?1,1, 0 , 0,1, 0 ,BC ? ?1,1, 12 XDHYZCBAE 設(shè) ? ?,E x y z 是線段 AC 上一點(diǎn)，則 0, 1,x z y? ? ? 平面 BCD 的一個(gè)法向量為 ? ?0,0,1 ,n ? ?,1, ,DE x x? 要使 ED 與面 BCD 成 30176。 ，所以 221c os , c os 60 .21221 2 .2D E n xD E nD E n xx x x?? ?? ? ? ?? ?? ? ?。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 UE9aQGn8xp$Ramp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2z Vkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3tnGK8! z89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 QA9wkxFyeQ^! dj sXuyUP2kNXpRWXm Aamp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^G89Am UE9aQGn8xp$Ramp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z8vGt YM*Jgamp。 QA9wkxFyeQ^! djsXuyUP2kNXpRWXm Aamp。 849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5ux^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$U*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am v^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn% Mz 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$U*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9amp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm 6X4NGpP$vSTTamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qvadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 ksv*3t nGK8!z89Am YWv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 gTXRm6X4NGpP$vSTTamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。ksv*3t nG