勾股定理的無字證明_勾股定理16種證明方法-在線瀏覽
2024-11-01 12:09本頁面
【正文】 ∠ QBM = ∠ ABC， 又∵ ∠ BMP = 90186。 BQ = BA = c， ∴ RtΔ BMQ ≌ RtΔ BCA. 同理可證 RtΔ QNF ≌ RtΔ AEF. 從而將問題轉化為【證法 4】（梅文鼎證明） . 【證法 7】（歐幾里得證明） 做三個邊長分別為 a、 b、 c 的正方形，把它們拼成如圖所 示形狀，使 H、 C、 B 三點在一條直線上，連結 BF、 CD. 過 C 作 CL⊥ DE， 交 AB 于點 M，交 DE 于點 L. ∵ AF = AC， AB = AD， ∠ FAB = ∠ GAD， ∴ Δ FAB ≌ Δ GAD， ∵ Δ FAB 的面積等于 221a ， Δ GAD 的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形 ADLM 的面積 = 2a . 同理可證，矩形 MLEB 的面積 = 2b . ∵ 正方形 ADEB 的面積 = 矩形 ADLM 的面積 + 矩形 MLEB 的面積 ∴ 222 bac ?? ，即 222 cba ?? . 【證法 8】（利用相似三角形性質證明） 如圖，在 RtΔ ABC 中，設 直角邊 AC、 BC 的長度分別為 a、 b，斜邊 AB 的長為 c，過點 C 作 CD⊥ AB，垂足是 D. 在Δ ADC 和Δ ACB 中， ∵ ∠ ADC = ∠ ACB = 90186?！?PAC = 90186。∠ BCA = 90186。∠ DHF = 90186。 ∴ DGFH 是一個邊長為 a 的正方形 . ∴ GF = FH = a . TF⊥ AF， TF = GT― GF = b― a . ∴ TFPB 是一個直角梯形，上底 TF=b― a，下底 BP= b，高 FP=a +（ b― a） . 用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以 c 為邊長的正方形的面積為 543212 SSSSSc ????? ① ∵ ? ?? ? ? ?? ?abaabbSSS ???????? 21438 = abb 212? ， 985 SSS ?? ， ∴ 8243 21 SabbSS ???? = 812 SSb ?? . ② 把②代入①，得 98812212 SSSSbSSc ??????? = 922 SSb ?? = 22 ab? . ∴ 222 cba ?? . 【證法 10】（李銳證明） 設直角三角形兩直角邊的長分別為 a、 b（ ba），斜邊的長為 c. 做三個邊長分別為 a、b、 c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A、 E、 G 三點在一條直線上 . 用數(shù)字表示面積的編號（如圖） . ∵ ∠ TBE = ∠ ABH = 90186。 BT = BE = b， ∴ RtΔ HBT ≌ RtΔ ABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT― HT = b― a. 又∵ ∠ GHF + ∠ BHT = 90186。 ∴ ∠ GHF = ∠ DBC. ∵ DB = EB― ED = b― a， MHQRTG F EDCBAcba87654321 ∠ HGF = ∠ BDC = 90186。可 知 ∠ ABE = ∠ QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtΔ ABE ≌ RtΔ QAM . 又 RtΔ HBT ≌ RtΔ ABE. 所以 RtΔ HBT ≌ RtΔ QAM . 即 58 SS ? . 由 RtΔ ABE ≌ RtΔ QAM，又得 QM = AE = a，∠ AQM = ∠ BAE. ∵ ∠ AQM + ∠ FQM = 90186?！?AQM = ∠ BAE， ∴ ∠ FQM = ∠ CAR. 又∵ ∠ QMF = ∠ ARC = 90186。點 C 在⊙ B 上，所以 AC 是⊙ B 的切線 . 由切割線定理，得 ADAEAC ??2 =? ?? ?BDABBEAB ?? =? ?? ?acac
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