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勾股定理的無字證明_勾股定理16種證明方法-在線瀏覽

2024-11-01 12:09本頁面
  

【正文】 ∠ QBM = ∠ ABC, 又∵ ∠ BMP = 90186。 BQ = BA = c, ∴ RtΔ BMQ ≌ RtΔ BCA. 同理可證 RtΔ QNF ≌ RtΔ AEF. 從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法 4】(梅文鼎證明) . 【證法 7】(歐幾里得證明) 做三個(gè)邊長分別為 a、 b、 c 的正方形,把它們拼成如圖所 示形狀,使 H、 C、 B 三點(diǎn)在一條直線上,連結(jié) BF、 CD. 過 C 作 CL⊥ DE, 交 AB 于點(diǎn) M,交 DE 于點(diǎn) L. ∵ AF = AC, AB = AD, ∠ FAB = ∠ GAD, ∴ Δ FAB ≌ Δ GAD, ∵ Δ FAB 的面積等于 221a , Δ GAD 的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半, ∴ 矩形 ADLM 的面積 = 2a . 同理可證,矩形 MLEB 的面積 = 2b . ∵ 正方形 ADEB 的面積 = 矩形 ADLM 的面積 + 矩形 MLEB 的面積 ∴ 222 bac ?? ,即 222 cba ?? . 【證法 8】(利用相似三角形性質(zhì)證明) 如圖,在 RtΔ ABC 中,設(shè) 直角邊 AC、 BC 的長度分別為 a、 b,斜邊 AB 的長為 c,過點(diǎn) C 作 CD⊥ AB,垂足是 D. 在Δ ADC 和Δ ACB 中, ∵ ∠ ADC = ∠ ACB = 90186?!?PAC = 90186?!?BCA = 90186?!?DHF = 90186。 ∴ DGFH 是一個(gè)邊長為 a 的正方形 . ∴ GF = FH = a . TF⊥ AF, TF = GT― GF = b― a . ∴ TFPB 是一個(gè)直角梯形,上底 TF=b― a,下底 BP= b,高 FP=a +( b― a) . 用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖),則以 c 為邊長的正方形的面積為 543212 SSSSSc ????? ① ∵ ? ?? ? ? ?? ?abaabbSSS ???????? 21438 = abb 212? , 985 SSS ?? , ∴ 8243 21 SabbSS ???? = 812 SSb ?? . ② 把②代入①,得 98812212 SSSSbSSc ??????? = 922 SSb ?? = 22 ab? . ∴ 222 cba ?? . 【證法 10】(李銳證明) 設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、 b( ba),斜邊的長為 c. 做三個(gè)邊長分別為 a、b、 c 的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使 A、 E、 G 三點(diǎn)在一條直線上 . 用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖) . ∵ ∠ TBE = ∠ ABH = 90186。 BT = BE = b, ∴ RtΔ HBT ≌ RtΔ ABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT― HT = b― a. 又∵ ∠ GHF + ∠ BHT = 90186。 ∴ ∠ GHF = ∠ DBC. ∵ DB = EB― ED = b― a, MHQRTG F EDCBAcba87654321 ∠ HGF = ∠ BDC = 90186???知 ∠ ABE = ∠ QAM,而 AB = AQ = c,所以 RtΔ ABE ≌ RtΔ QAM . 又 RtΔ HBT ≌ RtΔ ABE. 所以 RtΔ HBT ≌ RtΔ QAM . 即 58 SS ? . 由 RtΔ ABE ≌ RtΔ QAM,又得 QM = AE = a,∠ AQM = ∠ BAE. ∵ ∠ AQM + ∠ FQM = 90186?!?AQM = ∠ BAE, ∴ ∠ FQM = ∠ CAR. 又∵ ∠ QMF = ∠ ARC = 90186。點(diǎn) C 在⊙ B 上,所以 AC 是⊙ B 的切線 . 由切割線定理,得 ADAEAC ??2 =? ?? ?BDABBEAB ?? =? ?? ?acac
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