【正文】 出 △ACE∽△BAE ，即可得出 A點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出二次函數(shù)解析式。 4.（福建三明 14 分）在矩形 ABCD中，點(diǎn) P在 AD上， AB=2， AP=1．將直角尺的頂點(diǎn)放在 P處，直角尺的兩邊分別交 AB， BC于點(diǎn) E， F，連接 EF（如圖 ① ）． （ 1）當(dāng)點(diǎn) E與點(diǎn) B重合時(shí)，點(diǎn) F恰好與點(diǎn) C重合（如圖 ② ），求 PC的長(zhǎng)； （ 2）探究：將直尺從圖 ② 中的位置開始，繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) E和點(diǎn) A重合時(shí)停止．在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答： ①tan∠PEF 的值是否發(fā)生變化 ？請(qǐng)說(shuō)明理由； ② 直接寫出從開始到停止，線段 EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)． 7 【答案】解：（ 1）在矩形 ABCD中， ∠A ＝ ∠D ＝ 90176。 ∴∠ABP ＋ ∠APB ＝ 90176。 又 ∵∠BPC ＝ 90176。 。 ∴△APB∽△DCP 。 ∴PC ＝ 2 5。理由如下： 過(guò) F作 FG⊥AD ，垂足為 G，則四邊形 ABFG是矩形。 ， GF＝ AB＝ 2。 。 ， ∴∠APE ＋ ∠GPF ＝ 90176。 ∴∠AEP ＝ ∠GPF 。 ∴ PFPE ＝ GFAP ＝ 21 ＝ 2。 ∴tan∠PEF 的值不變。 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形中位線定理。 （ 2） tan∠PEF 的值不變．過(guò) F 作 FG⊥AD ，垂足為 G，同（ 1）的方法證明 △APB∽△DCP ，得相似比 PFPE ＝ GFAP ＝ 21 ＝ 2，再利用銳角三角函數(shù)的定義求值。所以從開始到停止，線段 EF 的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線是一條線段。由（ 1）， 根據(jù)三角形中位線定理， 8 O1O2＝ 12 PC＝ 5。 ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y=－ x2+4x﹣ 2。即 P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 1）。 ∵AC=CP ， ∴m ﹣ n=2+（ m﹣ n） 2﹣ 2，即 m﹣ n=（ m﹣ n） 2。 又 ∵C 點(diǎn)不與端點(diǎn) A、 B重合， ∴m≠n 。 則 A（ m， 2）， P（ m﹣ 1， 1）。 ∵OB=2 ， ∴OE=2 ﹣ m。 ∴0 ＜ S＜ 18 。 【分析】（ 1）根據(jù)題意得頂點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 2， a），然后設(shè) P（ 1， n）。 （ 2）把拋物線化為頂點(diǎn)式： y=﹣（ x﹣ m） 2+2，求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè) C（ n， 2），然后表示出 P（ n，﹣（ n﹣ m） 2+2）根據(jù) AC=CP求得 m﹣ n的值，然后表示出 OB、 OE的值從而表示出△OPE 的面積，從而求得面積的取值范圍。 ， ∠B=60176。 (1) 求 CD的長(zhǎng)及 ∠1 的度數(shù)； (2) 若點(diǎn) G恰好在 BC上，求此時(shí) x的值； (3) 求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式。 ， AB=6 ∴BM=AB?cos∠B=6179。 32 =3 3 。 ， ∴ 四邊形 AMCD是矩形。 ∵AD=9 ， ∴tan∠DAC= CD 3 3 3AD 9 3??。 。 。 。 ∵∠1=30176。 。 。 。 （ 3） ∵△EFG≌△EFD ， ∴S△EFG=S△EFD= 21 1 3D E D F = x 3 x x2 2 2? ? ? ? ?。當(dāng) x= 2 3 時(shí)， y達(dá)到最大值，為 63。 ∵GE=DE=x ， EC=3 3 － x， ∴ME=2 （ 3 3 － x）。 ∴NG= 3x 6 3 3x 63 ??－ 。 此時(shí) y= S△EFG － S△MNG = 23x2 － ? ? ? ?223 3 x 6 3 x 3 3 9 32 ? ? ? ? ?。 綜上所述， y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=? ?? ? ? ?223 x 0 x 2 323 x 3 3 9 3 x 2 3? ?????? ? ???＜＞； 當(dāng) x=33時(shí)， y最大值 =93。 【分析】（ 1）將 AB 平移，使點(diǎn) A 與點(diǎn) D 重合，利用勾股定理，則可得出 CD 的長(zhǎng)度，根據(jù) 11 CD與 AD的長(zhǎng)度關(guān)系可得出 ∠ DAC的度數(shù)，也就得出了 ∠1 的度數(shù)。 ，然后根據(jù) GE=2CE列出方程即可得出 x的值。 7.（福建莆田 14分）已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1． ∠ADC=60176。 （ 1）（ 4分）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖 1，若點(diǎn) E、 F分別是邊 DC、 CB的中點(diǎn)．求證：菱形 ABCD對(duì)角線 AC、 BD交點(diǎn) O即為等邊 △AEF 的外心； （ 2）若點(diǎn) E、 F始終分別在邊 DC、 CB上移動(dòng)．記等邊 △AEF 的外心為點(diǎn) P． ① （ 4分）猜想驗(yàn)證：如圖 2．猜想 △AEF 的外心 P落在哪一直線上，并加以證明； ② （ 6分）拓展運(yùn)用：如圖 3，當(dāng) △AEF 面積最小時(shí)，過(guò)點(diǎn) P任作一直線分別交邊 DA于點(diǎn) M，交邊 DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N，試判斷 11DM DN? 是否為定值．若是．請(qǐng)求出該定值；若不是．請(qǐng)說(shuō)明 理由。 ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90176。60176。 。 ∴0E=OF=OA 。 （ 2） ① 猜想：外心 P一定落在直線 DB 上。 。 ， ∴∠IPJ=360176。 ， ∵ 點(diǎn) P是等邊 △AEF 的外心， ∴∠EPA=120176。 ∴∠IPJ=∠EPA 。 ∴PI=PJ 。 ② 11DM DN? 為定值 2。 如圖 3．設(shè) MN交 BC于點(diǎn) G， 設(shè) DM=x， DN=y（ x≠0 ． y≠O ），則 CN=y－ 1。 ∴BG=DM=x ． ∴CG=1 － x。 ∴ CN CGDN DM? ，即 y 1 1 x yx??? 。 ∴ 112xy?? ，即 11DM DN? =2。 【分析】（ 1）首先分別連接 OE、 0F，由四邊形 ABCD 是菱形，即可得 AC⊥BD ， BD 平分∠ADC ． AO=DC=BC，又由 E、 F分別為 DC、 CB中點(diǎn)，即可證得 0E=OF=OA，則可得點(diǎn) O即為 △AEF的外心。 13 ② 當(dāng) AE⊥DC 時(shí)． △AEF 面積最小，此時(shí)點(diǎn) E、 F分別為 DC、 CB中點(diǎn)．連接 BD、 AC交于點(diǎn) P，由（ 1）可得點(diǎn) P即為 △AEF 的外心．由 △GBP∽△MDP ，即可 11DM DN? 為定值 2。 （ 2）依題意得 b2=ac ∴△=b2 － 4ac=b2－ 4b2=－ 3b2。 當(dāng) b≠0 時(shí)， △ ＜ 0，此時(shí)拋物線與 x軸沒(méi)有公共點(diǎn)。 ② 存在。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，一元二次方程根的判別式，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定。 x y 1 Oy 2 3 4 5 － 1 － 2 － 3 － 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （ 2）根據(jù)題意得到 b2=ac，然后結(jié)合根的判別式即可求得其根的判別式，根據(jù)判別式得到拋物線與 x軸的交點(diǎn)情況即可。 然后利用直角三角形的性質(zhì)即可得到使以點(diǎn) P、 Q、 B為頂點(diǎn)的三角形與 △AOB 全等的點(diǎn) P的坐 標(biāo)： 如圖，可求 A（ 0，－ 1）， B（ 12 ， 0）， ∴OA=1 ， OB=12 ， ∠AOB=900 。 在拋物線對(duì)稱軸上取點(diǎn) Q2，使 B Q2=12 ，過(guò) Q2作 y軸的垂線交拋物線于 P3， P4，此時(shí)得到滿足條件的點(diǎn) P3（－ 12 ， 12 ）， P4（ 32 ， 12 ）。 ② 如圖，四邊形 DCEF即為四邊形 ABEF 沿 EF折疊后的圖形： ⑵∵ 四邊形 DCEF與四邊形 ABEF關(guān)于直線 EF對(duì)稱， 又 AB∥EF ， ∴CD∥EF 。 ， ∴∠BAO ＝ 45176。 ∵AB∥EF ， ∴∠AFE ＝ 135176。 ∴∠DFE ＝ ∠AFE ＝ 135176。 ∴∠AFD ＝ 360176。135176。 ，即 DF⊥x 軸。 ∴ 四邊形 DHEF為平行四邊形。 ∵AB∥EF ， ∠FAB ＝ ∠EBA ， ∴FA ＝ EB。 又 ∵OE ＝ OF＝ 6－ t ， ∴EF ＝ ? ?t?62 。 ∴ 2126??t。 ⑶ 分兩種情況討論： ① 當(dāng) 0＜ t ≤3 時(shí)，四邊形 DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是 △DFG ， ∴S ＝ 221t 。 ② 當(dāng) 3＜ t ＜ 6時(shí)， 四邊形 DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是四邊形 DHOF。 ∴S ＝ ? ?22 622121 ?? tt ＝ 181223 2 ??? tt ＝ ? ? 6423 2 ??? t 。 ∴ 當(dāng) t ＝ 4時(shí)， S最大＝ 6.。 【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)的最值。 ∴ 直線 6??xy 與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)是 A（ 6， 0）， B（ 0，－ 6）。 （ 2）由軸對(duì)稱和平行的性質(zhì)，得到 DF∥EH 即可證得四邊形 DHEF 為平行四邊形。 （ 3）分 0＜ t ≤3 和 3＜ t ＜ 6兩種情況討論，利用二次函數(shù)的最值即可求解。 (2)∵y ＝ x2－ 4x＋ 3＝ (x－ 2) 2－ 1， ∴ 拋物線的對(duì) 稱軸為 x＝ 2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 P(2，－ 1)。 (3)由 (1) ，得 A(1， 0)。 ∵∠CBA ＝ ∠ABP ＝ 45176。 ∴BQ ＝ 3。 ∴ 當(dāng) BQBP＝ BABC時(shí)， △ABC∽△QBP 。 綜上所述，在 x軸上使以 P、 B、 Q為頂點(diǎn)的三角形與 △ABC 相似的點(diǎn) Q為 Q1(0， 0)， Q2??? ???73， 0 。 18 設(shè)點(diǎn) F(x，－ x＋ 3)，點(diǎn) E(x， x2－ 4x＋ 3)， ∴EF ＝－ x2＋ 3x。OB ＝－ 32x2＋ 92x∴CD ＝ 4。 ∴∠BPM ＝ ∠BDC ＝ 90176。 ∴△BPM∽△BDC 。 根據(jù)題意可得 BP＝ t， ∴ t8＝ PM4 ，即 PM＝ 12t。 ， ∴ 四邊形 PMED為矩形。 ∴OE ＝ OD＋ DE＝ 1＋ 12t。 ∵ 點(diǎn) N在拋物線上，橫坐標(biāo)為 1＋ 12t， ∴ 點(diǎn) N的縱坐標(biāo)為－ 12??? ???1＋ 12t 2＋ ??? ???1＋ 12t ＋ 152 。 ∵PB ＝ t， PD＝ ME， ∴EM ＝ 8－ t。 ∴ 當(dāng) t＝ 4時(shí)， MN最大＝ 2。如圖，連接 OP。 ∵OD ＝ 1， DE＝ PM＝ 12t， ∴EC ＝ 5－ ??? ???12t＋ 1 。 ∴ 當(dāng) t＝ 6時(shí)，四邊形 OPMC是等腰梯形。 【分析】（ 1）由拋物線與 x軸交于 A， C兩點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將它們代入方程得二元一次方程組，求解即可。 （ 3）若四邊形 OPMC是等腰梯形，只需 OD＝ EC。 21.（遼寧遼陽(yáng) 14分）如圖，已知 Rt△ABO ， ∠BAO ＝ 90176。 ，將 Rt△ABO 沿 OB翻折后，點(diǎn) A落在第一象限內(nèi)的點(diǎn) D處． (1)求 D點(diǎn)坐標(biāo)； (2)若拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ 3(a≠0) 經(jīng)過(guò) B、 D 兩點(diǎn)，求此拋 物線的表達(dá)式； (3)若拋物線的頂點(diǎn)為 E，它的對(duì)稱軸與 OB交于點(diǎn) F，點(diǎn) P為射線 OB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作 y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn) P，使得以 E、 F、 M、P為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考公式：拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ??? ???－ b2a， 4ac－ b24a . 【答案】解： (1) 如圖，過(guò)點(diǎn) D作 DC⊥x 軸于點(diǎn) C， 由翻折可知： DO＝ AO＝ 3， ∠AOB ＝ ∠BOD ＝ 30176。 。cos30176。 32 ＝ 3 32 ， CD＝ OD178。 ＝ 3179。 (2)在 Rt△AOB 中， AB＝ AO178。 ＝ 3179。 ∵ 拋物線 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 經(jīng)過(guò) B( 3， 3)， D??? ???3 32 ， 32 兩點(diǎn)， ∴ ????? 3a＋ 3b＋ 3＝ 3，274 a＋3 32 b＋ 3＝32解得????? a＝－ 23，b＝ 2 33 . ∴ 此拋物線表達(dá)式 為 y＝－ 23x2＋ 2 33 x＋ 3。 20 ∵E 為拋物線 y＝－ 23x2＋ 2 33 x＋ 3的頂點(diǎn)， ∴E ??? ???32 ， 72 。 ∴OB 所在直線的表達(dá)式 為 y＝ 3x。 則 H??? ???x， 72 ， G??? ???x， 32 。 要使四邊形 EFMP為等腰梯形，只需 PH＝ GM： 3x－ 72＝ 32－ ??? ???－ 23x2＋ 2 33 x＋ 3 ， 即－ 23x2＋ 2 33 x＋ 3＋ 3x＝ 5，解得 x1＝ 2 3， x2＝ 32 。 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，等腰梯形的判定和性質(zhì)。 ，從而在 Rt△COD中， ∠DOC ＝ 30176。因此由銳角三角